Yassi toʻlqin sahifasining manbasini koʻrish

[[Fayl:Plane wave wavefronts 3D.svg|thumb|right|Yassi toʻlqin [[to'lqin fronti]]ning uch oʻlchamli fazodagi tasviri va fazaviy tezlik vektorining yoʻnalishi|453x453px]]

''' Yassi elektromagnit toʻlqin''' — elektromagnit toʻlqinni xarakterlovchi [[toʻlqin funksiyasi]] faqat bitta koordinataga, masalan <math>z</math> ga va vaqtga bogʻliq boʻlgan toʻlqin.

Yassi [[Elektromagnit toʻlqinlar|elektromagnit toʻlqin]] uchun [[Vakuumdagi elektromagnit to'lqinlar|toʻlqin tenglamasi]] va Lorentz sharti quyidagi koʻrinishda boʻladi:
: <math>
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} - \frac{1}{c}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial t};\ \ \ \ \ (1)</math>
: <math>\dfrac{\partial A_{z}}{\partial z} + \frac{1}{c}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = 0;\ \ \ \ \ (2)</math>
=== Toʻlqin tenglamasining yechimi ===
(1) tenglamaning yechimini topish uchun yangi <math>\xi</math> va <math>\eta</math> oʻzgaruvchilar kiritiladi:
: <math>
\xi = z + ct;\ \ \ \ \ (3)</math>
: <math>\eta = z - ct;\ \ \ \ \ (4)</math>

Endi (1) tenglama quyidagi koʻrinishni oladi:
: <math>
\left(\dfrac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\right)  \left(\dfrac{\partial}{\partial z} - \frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\right)f = 0;\ \ \ \ \ (5)
</math>

(3) va (4) dan koʻrinib turibdiki,
: <math>
\dfrac{\partial}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial z} + \dfrac{\partial}{\partial\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial\xi}+\dfrac{\partial}{\partial\eta}</math>

: <math>\dfrac{\partial}{\partial t} = \dfrac{\partial}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial t} + \dfrac{\partial}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial t} = c\dfrac{\partial}{\partial\xi} - c\dfrac{\partial}{\partial\eta} = c\left(\dfrac{\partial}{\partial\xi} - \dfrac{\partial}{\partial\eta}\right)</math>

Demak,
: <math>
\dfrac{\partial}{\partial\xi}+\frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t} = 2\dfrac{\partial}{\partial\xi}</math>
: <math>
\dfrac{\partial}{\partial\xi}-\frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t} = 2\dfrac{\partial}{\partial\eta}</math>

U holda toʻlqin tenglama (5) ga muvofiq
: <math>
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\xi\partial\eta} = 0;\ \ \ \ \ (6)</math>

Bu toʻlqin tenglamani avval <math>\xi</math> boʻyicha integrallanadi: <math>\dfrac{\partial f}{\partial\eta} = C_{1}(\eta)</math>, keyin esa <math>\eta</math> boʻyicha integrallanadi: <math>f = \int C_{1}(\eta)d\eta+C_{2}(\xi)</math>, yaʼni
: <math>
f = f_{1}(\xi) + f_{2}(\eta);\ \ \ \ \ (7)</math>

yoki (3) bilan (4) ga binoan,
: <math>f = f_{1}(z + ct) + f_{2}(z - ct);\ \ \ \ \ (8)</math>

boʻladi. Bu yerda <math>f_{1}</math> va <math>f_{2}</math> ixtiyoriy funksiyalardir.
=== Toʻlqin tenglamaning mohiyati ===
Bu funksiyalarning maʼnosini aniqlash mumkin. Agar <math>z - ct =const</math> boʻlsa,

: <math>
f=f_{2}(z-ct);\ \ \ \ \ (9)</math>

[[Fayl:Plane Wave 3D Animation 300x216 255Colors.gif|thumb|right|300px|Yassi toʻlqin harakati]]

boʻladi. Agar <math>z-ct=const</math> boʻlsa, <math>f_{2} = const</math> boʻladi. Boshlangʻich vaqt momenti <math>t = 0</math> ga mos koordinata <math>z_{0}</math> desak, <math>z - ct =z_{0}</math> boʻladi. Bu formula esa <math> z</math> koordinata oʻqiga perpendikulyar boʻlgan va shu oʻq boʻylab <math> c</math> oʻzgarmas tezlik bilan harakatlanuvchi tekislikni ifodalaydi. Koʻrinib turibdiki, boshlangʻich vaqt momenti <math>t=0</math> va boshlangʻich koordinata <math>z=z_{0}</math> nuqtada funksiya qanday qiymatga ega boʻlsa, <math> t</math> vaqt oʻtgandan keyin <math>z=z_{0} + ct</math> koordinatali nuqtada yana oʻsha qiymatiga ega, yaʼni <math>f_{2}(z_{0})=f_{2}(z - ct)</math> boʻladi. Shunday qilib, elektromagnit maydonni xarakterlovchi funksiya qiymati <math>z</math> oʻqi boʻylab <math>c</math> texlik bilan tarqaladi. Tekshirilayotgan <math>f_{2}(z - ct)</math> funksiya yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

Aytilganlardan ayonki, <math>f_{1}(z + ct)</math> funksiya esa <math> z</math> koordinata oʻqiga qarama-qarshi yoʻnalishda yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

== Yassi elektromagnit toʻlqin ==
Fazoda tarqalayotgan elektromagnit toʻlqin tenglamasini aniqlash uchun [[Vakuumdagi elektromagnit to'lqinlar|toʻlqin tenglamasi]]dan foydalanamiz. Yassi toʻlqinlar masalasini koʻrib chiqayotganimiz uchun faqatgina <math>z</math> oʻqi boʻyicha yuguruvchi toʻlqin bilangina cheklanamiz. Shunday qilib, [[Skalar|skalyar]] potensial va vektor potensial uchun
(9) ga asosan quyidagicha yozish mumkin:
: <math>
\varphi = \varphi(z - ct);\ \ \ \ \ (10)</math>
: <math>\textbf{A}=\textbf{A}(z-ct);\ \ \ \ \ (11)</math>

Potensiallarning kalibrovka sharti quyidagi koʻrinishda edi:
: <math>\varphi'=\varphi-\frac{1}{c}\dfrac{\partial\psi}{\partial t};\ \ \ \ \ (12)</math>

yoki (10) ga muvofiq:
: <math>\varphi'(z-ct)=\varphi(z-ct) - \frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(z-ct)</math>

Ammo (4) ga asosan,
: <math>\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(z-ct) = -\dot\psi(z-ct)</math>

bu yerda argument <math>\eta = z-ct</math> boʻyicha differensiallash nuqta bilan belgilandi. Shunday qilib,
: <math>\varphi'(z-ct)=\varphi(z-ct)+\dot\psi(z-ct)</math>

boʻladi. <math>\psi(z-ct)</math> funksiya ixtiyoriy boʻlganligidanm uni quyidagi koʻrinishda tanlash mumkin: <math>\varphi'(z-ct) = \dot\psi(z-ct)</math>. Demak, natijada <math>\varphi(z-ct) = 0</math> boʻladi. U vaqtda Lorentz sharti (2) ga asosan,
: <math>\dfrac{\partial A_{z}}{\partial z} = 0,\ \ \ \ \ A_{z} = const;\ \ \ \ \ (13)</math>

Bu oʻzgarmas sonni nolga teng deb hisoblash mumkin.

Haqiqatdan ham, potensiallar orqali kuchlanganliklarni ifodalovchi formulalar:
: <math>\textbf{E}=-\textrm{grad}\varphi -\frac{1}{c}\dfrac{\partial \textbf{A}}{\partial t}</math>
: <math>\textbf{H}=\textrm{rot}\textbf{A}</math>

yoki <math>\varphi(z-ct)=0</math> ekanligi hisobga olinsa,
: <math>\textbf{E}=-\frac{1}{c}\dfrac{\partial\textbf{A}}{\partial t};\ \ \ \ \ (14)</math>
: <math>\textbf{H}=\textrm{rot}\textbf{A};\ \ \ \ \ (15)</math>

(13) va (14) dan koʻrinib turibdiki, <math>E_{z}=0</math>, yaʼni [[elektr maydon]] kuchlanganligi <math>\textbf{E}</math> vektor toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shuning uchun, vektor potensialning toʻlqin tarqalishi yoʻnalishidagi tashkil etuvchisi nolga teng deb olish mumkin, yaʼni <math>A_{z}=0</math>.

Endi esa (4) va (11) ni hisobga olib, (14) va (15) ga muvofiq quyidagini yozamiz:
: <math>\textbf{E} = -\frac{1}{c}\dfrac{\partial\textbf{A}}{\partial t}=-\frac{1}{c}\dfrac{\partial\textbf{A}}{\partial\eta}{\partial\eta}{\partial t}=\dot\textbf{A}</math>
: <math>\textbf{H}=\textrm{rot}\textbf{A} = [\nabla\ \textbf{A}] = [\nabla(z-ct), \textbf{A}]=[\nabla_{z}, \dot{\textbf{A}}]=[\nabla_{z}, \textbf{E}]</math>

[[Fayl:Elektromagnit tolqin.png|thumb|Elektr va magnit maydon kuchlanganlik vektorlarining yoʻnalishi toʻlqin tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyar boʻladi]]
Toʻlqin tarqalishi yoʻnalishining ortini '''n''' bilan belgilasak, <math>\textbf{n} = \nabla_{z}</math> boʻladi. Demak,
: <math>\textbf{H} = [\textbf{n}\ \textbf{E}];\ \ \ \ \ (16)</math>

Koʻrinib turibdiki, [[magnit maydon kuchlanganligi]] <math>\textbf{H}</math> vektor ham [[elektr maydon kuchlanganligi]] <math>\textbf{E}</math> vektor singari, toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shunday qilib, elektromagnit toʻlqin — koʻndalang toʻlqin hamda <math>\textbf{H}</math> va <math>\textbf{E}</math> vektorlar oʻzaro perpendikulyar vektorlar ekan. <math>\textbf{n}</math>, <math>\textbf{E}</math>, <math>\textbf{H}</math> vektorlarning yoʻnalishlari rasmda tasvirlangan.

== Umov-Poynting vektori ==

(16) tenglamadan koʻrinib turibdiki,
: <math>
H = E;\ \ \ \ \ (17)</math>

yaʼni elektr maydon va [[magnit maydon]] kuchlanganliklarining son qiymatlari birxil, demak, toʻlqinning elektr maydon va magnit maydon energiya zichliklari bir xil. U vaqtda toʻlqining energiya zichligi
: <math>
w = \frac{E^{2}}{8\pi}+\frac{H^{2}}{8\pi}=\frac{E^{2}}{4\pi}=\frac{H^{2}}{4\pi};\ \ \ \ \ (18)</math>

Toʻlqinning energiya oqimini xarakterlovchi Umov-Poynting vektori uchun
: <math>
\textbf{S} = 
\frac{c}{4\pi}
\left[\textbf{E}\ \textbf{H}\right] = 
\frac{c}{4\pi}
\left[\textbf{E}[\textbf{n}\ \textbf{E}]\right]=
\frac{c}{4\pi}
\left[\textbf{n}\textbf{E}^{2} - \textbf{E}(\textbf{nE})\right]
=\frac{E^{2}}{4\pi}c\ \textbf{n}
</math>

yoki (18) ga muvofiq,
: <math>\textbf{S} = w\ c\ \textbf{n};\ \ \ \ \ (19)</math>

demak, [[energiya oqimi]] toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi boʻyicha yoʻnalgan. [[To'lqin elektromagnit impulsining zichligi]] uchun
: <math>\textbf{g}_{S} = \frac{\textbf{S}}{c^{2}} = \frac{w}{c}\textbf{n};\ \ \ \ \ (20)</math>

== Shuningdek qarang: ==
* [[Garmonik elektromagnit to'lqin]]
* [[To'lqin paket]]
* [[To'lqin paket uchun aniqsizlik munosabatlari]]

== Adabiyotlar ==
{{manbalar}}
* ''R.X.Mallin'', Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974

{{Turkumsiz|date=Aprel 2024}}