Ziyosfera

Darajaga koʻtarish

Darajaga koʻtarish – sonni oʻziga bir necha marta koʻpaytirish natijasida aniqlanadigan arifmetik amal[1][2]. Darajaga koʻtarilgan ifoda bn shaklida yoziladi hamda „bning n-darajasi“ deb oʻqiladi. Bunda b asos, n esa daraja koʻrsatkichi hisoblanadi. Agar n daraja musbat son boʻlsa, darajaga koʻtarish uchun son oʻziga n marotaba koʻpaytiriladi. Bu bn – b ning n marotaba koʻpaytirilganiga teng: bn=b×b×…×b×b⏟nmarta.{\displaystyle b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ marta}}.}Bunda, b1=b{\displaystyle b^1=b}.

bn
izoh
b – asos, n – daraja
y = bx grafigida b:   10 ning darajalari,   darajali funksiya,   2 ning darajalari,   1/2 daraja. Har bir chiziq (0, 1) nuqtadan oʻtadi.

Daraja koʻrsatkichi asosning oʻng tomonida koʻrsatiladi. Shuningdek, bu fanda „n darajaga koʻtarilgan b soni“, „bning n-darajasi“ sifatida ataladi.

Darajalarning koʻpaytirilishi quyidagi tartibda amalga oshiriladi: bn×bm=b×…×b⏟nmarta×b×…×b⏟mmarta=b×…×b⏟n+mmarta=bn+m.{\displaystyle \begin{align} b^n \times b^m & = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n \text{ marta}} \times \underbrace{b \times \dots \times b}_{m \text{ marta}} \\[1ex] & = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n+m \text{ marta}} \ =\ b^{n+m} . \end{align}} Bunda darajalar oʻzaro koʻpaytirilganda daraja koʻrsatkichlari qoʻshiladi. Qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichi 0 ga teng boʻlganda, yigʻindi 2-qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichiga teng boʻladi: b0×bn=b0+n=bn{\displaystyle b^0 \times b^n = b^{0+n} = b^n}.

Biroq, daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan hollarda darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi: b−n=1/bn.{\displaystyle b^{-n} = 1/b^n.}

Shuningdek, qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichlardan biri manfiy hamda biri musbat boʻlgan hollarda yigʻindi manfiy va musbat sonlarni qoʻshish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi: b−n×bn=b−n+n=b0=1{\displaystyle b^{-n} \times b^n = b^{-n+n} = b^0 = 1}

Daraja koʻrsatkichi kasr boʻlgan sonlar darajaga quyidagi tartibda koʻtariladi: bn/m=bnm.{\displaystyle b^{n/m} = \sqrt[m]{b^n}.} Misol uchun, b1/2×b1/2=b1/2+1/2=b1=b{\displaystyle b^{1/2} \times b^{1/2} = b^{1/2 \,+\, 1/2} = b^1 = b} ifodasida b ning qiymati (b1/2)2{\displaystyle (b^{1/2})^2} hisoblanadi.

Muavr formulasi orqali ham kompleks sonni darajaga koʻtarish mumkin.

Darajaga koʻtarish turli sohalarda keng qoʻllanadi, jumladan, iqtisodiyot, biologiya, kimyo, fizika, informatika, kimyoviy reaksiyalarning kinetik tezliklarini hisoblash sohalari.

Etimologiyasi

„Darajaga koʻtarish“ atamasi lotin tilida exponent deb ataladi. Bu soʻz exponentem feʼlining hozirgi zamon shakli hisoblanib, oʻzbek tilida „oldinga qoʻymoq“ deya tarjima qilinadi[3]. „Daraja“ atamasi esa, lotin tilida dignitas deya nomlanadi[4][5]. Bu soʻz yunoncha dúnamis soʻzidan olingan boʻlib, „kuchaytirish“ degan maʼnoni anglatadi. Darajaga koʻtarish atamasi, ilk bor yunon matematigi Yevklid tomonidan chiziqli tenglamani ifodalashda qoʻllanilgan[6].

Tarixi

Antik davr

The Sand Reckoner

Qadimgi yunon olimi Arximed „The Sand Reckoner“ asarida 10 ning darajalariga oid 10a · 10b = 10a+b qonuniyat isbotlagan[7]. Arximed olamdagi barcha qum zarralarining umumiy hisobini topishda 10 sonini darajaga koʻtarish orqali topgan.

Islom oltin davri

Māl va kaʼbah („kvadrat“ va „kub“)

IX asrda Oʻrta Osiyo qomusiy olimi Al-Xorazmiy[8] sonning 2-darajasi kvadrat uchun مَال (māl, „mol-mulk“) hamda sonning 3-darajasi boʻlgan kub uchun كَعْبَة (kaʿbah, „kub“) atamalarini fanga kiritgan. Musulmonlar uchun oʻsha davrda yer maydonlarini oʻlchashda kvadratning oʻrni muhim boʻlgan. XV asrlarda Abu’l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi asarlarida kvadratni mīm (m) tarzida hamda kubni esa, kāf (k) tarzida ifodalashgan[9].

XV—XVIII asrlar

Darajalarning ifodalanishi

XV asrlarda oʻrta asrlar fransuz matematigi Nicolas Chuquet oʻz asarlarida darajalarga koʻtarishni koʻrsatkichlar bilan ifodalagan. Masalan, 122ni 12x2 sifatida belgilagan[10]. Daraja koʻrsatkichlarini bu koʻrinishda ifodalash XVI asrlarda Henricus Grammateus va Michael Stifel tomonidan ham amalga oshirilgan. XVI asr oxirlarida shved matematigi Jost Bürgi sonlarni darajaga koʻtarishda 4x3ni 4 sonining ustida 3 ta iii harflarini qoʻyish orqali ifodalagan[11].

Darajalar

„Daraja“ atamasi ilk marotaba 1544-yilda Michael Stifel tomonidan qoʻllanilgan[12][13]. XVI asrda matematik Robert Recorde asarlarida kvadrat, kub atamalaridan tashqari zenzizenzik (4-daraja), sursolid (5-daraja), zenzikub (6-daraja), ikkinchi sursolid (7-daraja) va zenzizenzizenzik (8-daraja) atamalaridan ham foydalangan[14].

Hozirgi darajalarning ifodalanishi

1636-yilda matematik James Hume „L’algèbre de Viète“ asarida A3ni Aiii sifatida ifodalagani hozirgi daraja koʻrsatkichining shakli uchun muhim rol oʻynagan. Dastlab, daraja koʻrsatkichi Rim raqamlarida ifodalangan, keyinchalik esa, XVII asrning boshlarida fransuz matematigi René Descartes tomonidan „La Geométrie“ kitobida daraja koʻrsatkichlari Rim raqamidan Arab raqamlariga oʻzgartirilgan. Olim bu haqida shunday degan[15]:

Men a sonini oʻz-oʻziga koʻpaytirishda aa yoki a2 sifatida belgiladim va son 3 marta koʻpaytirilsa daraja yoniga yana bir son qoʻshiladi va davom etadi…

XX asr

XX asrda hisoblash jarayoni mexanizatsiyalashtirilgani sababli, darajalarni yozish qulayroq shaklda yozishga eʼtibor qaratildi. 1938-yilda nemis muhandisi Konrad Zuse tomonidan oʻzining Z1 kompyuteri yordamida qo‘zg‘aluvchan nuqta arifmetikasi ishlab chiqildi. Bunga koʻra, jadvalning 1-katakchasida sonning asosi hamda 2-katakchasida esa, 10 sonining darajasi yozilgan. 1946-yilda qo‘zg‘aluvchan nuqta arifmetikasiga asoslangan tizim Bell Labaratories kompyuterlariga oʻrnatilgan[16].

Terminologiyasi

b2 = b · b ifodasi „b kvadrat“ deya nomlanadi[sharh 1]. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni bga teng boʻlgan kvadratning yuzi b2ga teng boʻladi.

b3 = b · b · b ifodasi „b kub“ deb nomlanadi[sharh 2]. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni bga teng boʻlgan kubning hajmi b3ga teng boʻladi.

Daraja koʻrsatkichi musbat son boʻlsa, koʻrsatkichning qiymati asosning oʻz-oʻziga necha marotaba koʻpaytirilganini bildiradi. Masalan, 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 ifodasida asosi oʻz-oʻziga 5 marotaba koʻpaytirilgan, chunki darajaning koʻrsatkichi 5 ga teng. Bu ifodada, 243 soni 3 ning 5-darajasi hisoblanadi.

Ayrim hollarda ifodani oʻqishda darajasi soʻzi tushirilib qoldiriladi[17]. Misol uchun, 35 ifodasi qisqa qilib 3ning 5-si tarzida oʻqiladi.

Butun sonli darajalar

Daraja koʻrsatkichi butun boʻlgan sonlarni darajaga koʻtarish amalini elementar matematik bilimlar orqali amalga oshirish mumkin.

Musbat darajalar

Induksiya yordamida musbat darajali sonlarni darajaga koʻtarishni quyidagi tartibda amalga oshirish mumkin[18]:

b1=b{\displaystyle b^1 = b}

Rekursiya qilinganda esa: bn+1=bn⋅b.{\displaystyle b^{n+1} = b^n \cdot b.}

Koʻpaytirishning assotsiativligiga koʻra, m va n ixtiyoriy sonlar boʻlishi mumkin:

bm+n=bm⋅bn,{\displaystyle b^{m+n} = b^m \cdot b^n,}

va

(bm)n=bmn.{\displaystyle (b^m)^n=b^{mn}.}

Nol darajalar

Har qanday sonning 0 darajasi 1 ga teng[19][1].

b0=1.{\displaystyle b^0=1.}

Manfiy darajalar

Daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan ifoda quyidagicha aniqlanadi:

b−n=1bn{\displaystyle b^{-n} = \frac{1}{b^n}}[1][20]

Bunda, n – ixtiyoriy son, b – noldan farq qiluvchi ixtiyoriy son.

Ayniyatlar

Quyidagi ayniyatlar „darajalar qonuniyatlari“ deb ataladi hamda barcha daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar uchun tegishli hisoblanadi[1]:

bm⋅bn=bm+n(bm)n=bm⋅nbn⋅cn=(b⋅c)n{\displaystyle \begin{align} 

          b^m \cdot b^n &= b^{m + n} \\
 \left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\
      b^n \cdot c^n &= (b \cdot c)^n

\end{align}}

Qoʻshish va koʻpaytirish amallarida qoʻshiluvchilar yoki koʻpayuvchilarni oʻrnini almashtirsa ham natija oʻzgarmaydi. Biroq, daraja koʻrsatkichlari hamda asosning oʻrni almashtirilsa oʻzaro natijalar bir-biridan farq qiladi. Masalan, 23=8{\displaystyle 2^3 = 8}, ammo oʻrin almashtirilsa, ifoda 32=9{\displaystyle 3^2=9} holatiga keladi.

Darajalar yigʻindisi

Odatda, darajalar yigʻindisi Nyuton binomidan foydalanilgan holda hisoblanadi[21]:

(a+b)n=∑i=0n(ni)aibn−i=∑i=0nn!i!(n−i)!aibn−i.{\displaystyle (a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.}

Kombinatorik roʻyxat

Kombinatorik roʻyxatda n toʻplamdan m toʻplamgacha boʻlgan funksiyalarning soni keltirilgan. Bunda, n hamda m – manfiy boʻlmagan sonlar hisoblanadi. m va n ning alohida qiymatlari uchun baʼzi misollar quyidagi jadvalda keltirilgan[22]:

nm {1, …, n} toʻplamidagi nm qiymatlari
05 = 0 mavjud emas
14 = 1 (1, 1, 1, 1)
23 = 8 (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
32 = 9 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
41 = 4 (1), (2), (3), (4)
50 = 1 ()

Maxsus asoslar

10 ning darajalari

Oʻnlik sanoq sistemasidagi 10 ning butun darajalari 1 raqamidan keyin yoki oldidan 0 raqamlarining ifodalanishi 10 ning darajalari hisoblanadi. Misol uchun, 103 = 1000, 10−4 = 0.0001.

Asosi 10 soni boʻlgan 10 ning darajalari fanda keng qoʻllaniladi. Masalan, 299792458 m/s qiymati (vakuumdagi yorugʻlik tezligi) 2.99792458×108 m/s sifatida yozilishi ham mumkin. Taqriban esa, 2.998×108 m/s shaklida 10 ning darajasi hisobiga qisqartirib, qulay holatda qoʻllaniladi.

Xalqaro birliklar tizimi ham 10 ning darajalariga asoslangan. Misol uchun, kilo old qoʻshimchasi 103 = 1000 maʼnosini bildiradi[23].

2 ning darajalari

2−1{\displaystyle 2^{-1}} ifodasi yarim, 2−2{\displaystyle 2^{-2}} ifodasi esa chorak deb ataladi. Kompyuter sohasida 2 ning darajalarining roli muhim hisoblanadi. Baytlar 2 ning darajalaridan foydalanib ifodalanadi. Masalan, 28 = 256. Ikkilik sanoq tizimida har qanday sonni 2 ning darajalari yigʻindisi sifatida ifodalash mumkin[24][25].

1 ning darajalari

1ning har qanday darajasi 1 ga teng[26]:1n = 1.

−1 ning darajalari

Manfiy sonni boshqa bir manfiy songa koʻpaytirilsa, natija musbat son boʻladi[27]:

(−1)n={1juftn,−1toqn.{\displaystyle (-1)^n = \left\{\begin{array}{rl} 1 & \text{juft } n, \\ -1 & \text{toq } n. \\

\end{array}\right.}

Darajali funksiyalar

Juft darajali funksiyalar n = 2, 4, 6

f(x)=cxn{\displaystyle f(x) = cx^n} shaklidagi funksiyalar „darajali funksiyalar“ deb ataladi[28]. Bunda c≠0{\displaystyle c \ne 0} boʻlishi lozim. Darajali funksiyalar 2 turga boʻlinadi, toq darajali funksiyalar hamda juft darajali funksiyalar. Juft darajali funksiyalar (f(−x)=−f(x){\displaystyle f(-x)= -f(x)}) shaklida belgilash ham mumkin.

Oʻngacha boʻlgan musbat sonlarning daraja qiymatlari

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576
5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625
6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176
7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 282475249
8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824
9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401
10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000

Ratsional darajalar

Tepadan pastga: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.

Agar x nomanfiy butun son boʻlsa, n musbat butun son boʻlsa, x1/n{\displaystyle x^{1/n}} yoki xn{\displaystyle \sqrt[n]x} haqiqiy ildiz hisoblanadi. yning qiymati esa musbat boʻladi[29].

Agar x musbat butun son boʻlsa, pq{\displaystyle \frac pq} ratsional son hamda p va q > 0ga teng boʻlsa, xp/q{\displaystyle x^{p/q}} quyidagicha aniqlanadi:

xpq=(xp)1q=(x1q)p.{\displaystyle x^\frac pq= \left(x^p\right)^\frac 1q=(x^\frac 1q)^p.}

Oʻng tomondagi y=x1q{\displaystyle y=x^\frac 1q} tengligini quyidagicha yozish mumkin: (x1q)p=yp=((yp)q)1q=((yq)p)1q=(xp)1q.{\displaystyle (x^\frac 1q)^p=y^p=\left((y^p)^q\right)^\frac 1q=\left((y^q)^p\right)^\frac 1q=(x^p)^\frac 1q.}

Agar r musbat ratsional son boʻlsa, unda 0r = 0 boʻladi.

Boshqa tomondan, bu taʼriflarni musbat haqiqiy son boʻlmagan asoslar bilan bogʻliq muammolar mavjud. Masalan, manfiy haqiqiy sonning haqiqiy n-darajali ildizi, n toq boʻlganda manfiy boʻladi, n juft boʻlganda esa haqiqiy ildizi boʻlmaydi. Shuningdek, x1n,{\displaystyle x^\frac 1n,} uchun har qanday n-ildiz tanlansa ham, (xa)b=xab{\displaystyle (x^a)^b=x^{ab}} ayniyatni qanoatlantirib boʻlmaydi[30]:

Failed to parse (unmatched }): {\displaystyle \left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.}

Haqiqiy darajalar

Musbat haqiqiy sonlar uchun haqiqiy darajalar koʻrsatkichni ikki usulda, ratsional hamda asos logarifmi hamda uning koʻrsatkichli funksiyasi orqali aniqlash mumkin. Funksiya natijasi doim musbat son boʻladi[31].

Manfiy haqiqiy sonning darajaga koʻtarish oson jarayon emas, chunki darajaga koʻtarilganda natija haqiqiy son boʻlmasligi yoki bir necha qiymatlarga ega boʻlishi mumkin. Biroq, quyidagi ayniyat qiymatni aniqlashga yordam beradi:

(br)s=brs{\displaystyle \left(b^r\right)^s = b^{r s}}

Shu sababli, musbat haqiqiy son boʻlmagan asosni darajaga koʻtarishni koʻp qiymatli funksiya deb ham ataladi[32].

Ratsional darajalarning limitlari

Har qanday irratsional son ratsional sonlar ketma-ketligining limiti sifatida ifodalanishi mumkin. Quyidagi ayniyatda x ixtiyoriy haqiqiy daraja koʻrsatkichi, b esa, ixtiyoriy haqiqiy son[33]:

bx=limr(∈Q)→x⁡br(b∈R+,x∈R),{\displaystyle b^x = \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} b^r \quad (b \in \mathbb{R}^+,\, x \in \mathbb{R}),}

Bunda, r ratsional son qiymatlariga teng hisoblanadi[33].

Masalan, agar x = π boʻlsa, π qiymati π = 3.14159... ratsional darajalarning monotonligi hamda chegaralangan intervallar orqali ifodalash mumkin[34]: bπ:{\displaystyle b^\pi:}

[b3,b4],[b3.1,b3.2],[b3.14,b3.15],[b3.141,b3.142],[b3.1415,b3.1416],[b3.14159,b3.14160],…{\displaystyle \left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots}

Bunda, intervallarning yuqori va quyi chegaralari bir xil limitga ega boʻlgan ikkita ketma-ketlikni hosil qiladi. Bu limit bπ.{\displaystyle b^\pi.} bilan belgilanadi.

Koʻrsatkichli funksiya

Asosiy maqola: Koʻrsatkichli funksiya

Koʻrsatkichli funksiyani qisqacha qilib x↦ex,{\displaystyle x\mapsto e^x,} shaklida yozish mumkin[35]. Bu yerda, e≈2.718{\displaystyle e\approx 2.718} „Eyler soni“ hisoblanadi. exp⁡(x),{\displaystyle \exp(x),} koʻrsatkichli funksiyaning e=exp⁡(1){\displaystyle e=\exp(1)} qiymati quyidagicha: exp⁡(x)=ex.{\displaystyle \exp(x)=e^x.}.

Koʻrsatkichli funksiyani aniqlashning koʻplab usullari mavjud boʻlib, ulardan biri shunday:

exp⁡(x)=limn→∞⁡(1+xn)n.{\displaystyle \exp(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.}

Boshqa holatda, exp⁡(0)=1,{\displaystyle \exp(0)=1,}, exp⁡(x)exp⁡(y)=exp⁡(x+y){\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)} boʻlganida, bu usul ham oʻrinli hisoblanadi:

exp⁡(x)exp⁡(y)=limn→∞⁡(1+xn)n(1+yn)n=limn→∞⁡(1+x+yn+xyn2)n,{\displaystyle \exp(x)\exp(y) = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n\left(1 + \frac{y}{n}\right)^n = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \frac{x+y}{n} + \frac{xy}{n^2}\right)^n,}

Logarifmik darajalar

exni koʻrsatkichli funksiya sifatida har qanday musbat haqiqiy b soni uchun bxni logarifmik funksiyalar orqali ifodalash mumkin. Natural logarifm ln(x) , koʻrsatkichli funksiya exning teskari funksiyasi ekanligidan kelib chiqib, quyidagi tenglik oʻrinli hisoblanadi[36]:

b=exp⁡(ln⁡b)=eln⁡b{\displaystyle b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}}

bunda, b > 0.

bx=(eln⁡b)x=exln⁡b{\displaystyle b^x=\left(e^{\ln b} \right)^x = e^{x \ln b}}

Musbat asosli murakkab darajalar

Agar b asos musbat haqiqiy son boʻlsa, z kompleks koʻrsatkichli daraja boʻlsa, daraja koʻrsatkichi koʻrsatkichli funksiya yordamida aniqlanadi[37].

bz=e(zln⁡b),{\displaystyle b^z = e^{(z\ln b)},}

Bunda, ln⁡b{\displaystyle \ln b} natural logarifmni bildiradi.

Quyidagi tenglik ayniyatni qanoatlantiradi:

bz+t=bzbt,{\displaystyle b^{z+t} = b^z b^t,}

Euler formulalariga koʻra tenglik oʻrinli hisoblanadi:

eiy=cos⁡y+isin⁡y,{\displaystyle e^{iy} = \cos y + i \sin y,}

Kompleks sonlarning butun boʻlmagan darajalari

Kompleks sonlarning n ildizlari

Har qanday nolga teng boʻlmagan kompleks son quyidagicha yozilishi mumkin[38][39]:

z=ρeiθ=ρ(cos⁡θ+isin⁡θ),{\displaystyle z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos \theta +i \sin \theta),}

Bunda, ρ{\displaystyle \rho} – zning mutlaq qiymati, θ{\displaystyle \theta} esa argumentdir.

Ikki kompleks sonning koʻpaytmasi mutlaq qiymatlarni koʻpaytirish va argumentlarni qoʻshish orqali topiladi. Shuningdek, kompleks sonning n-ta ildizining mutlaq qiymati esa, argumentni n ga boʻlish orqali aniqlanadi:

(ρeiθ)1n=ρneiθn.{\displaystyle \left(\rho e^{i\theta}\right)^\frac 1n=\sqrt[n]\rho \,e^\frac{i\theta}n.}

Birlikning ildizlari

1ning 3 ta 3-darajali ildizlari

Birliklarning n-darajali ildizlari deb, wn = 1 boʻlgan n kompleks sonlarga aytiladi. Birliklarning n ta ildizlari matematikaning turli sohalarida qoʻllaniladi[40].

Birliklarning n ta ildizlari ω=e2πin{\displaystyle \omega =e^\frac{2\pi i}{n}}ning n-darajalari hisoblanadi. Bunda, 1=ω0=ωn,ω=ω1,ω2,ωn−1.{\displaystyle 1=\omega^0=\omega^n, \omega=\omega^1, \omega^2, \omega^{n-1}.}

Geometrik jihatdan, birlikning n-ta ildizlari kompleks tekislikdagi birlik doirasida joylashgan boʻlib, doiraning eng markazidagi koʻrsatkich 1 hisoblanadi[41][42].

Kompleks darajaga koʻtarish

Kompleks sonlarni darajaga koʻtarish bir qancha muammolarni keltirib chiqarishi mumkin. zw{\displaystyle z^w} ifodasi uchun har qanday kompleks sonni oʻrniga qoʻyib ishlash mumkinligini inobatga olgan holda, biron-bir son qiymat oʻlaroq tanlanadi. Bunday holatda ifodani koʻp qiymatli funksiya orqali ishlash mumkin boʻladi[43][44].

Barcha holatlarda kompleks logarifm orqali kompleks darajaga koʻtarishni amalga oshirish mumkin:

zw=ewlog⁡z,{\displaystyle z^w=e^{w\log z},}

bu yerda, log⁡z{\displaystyle \log z} – kompleks logarifm hisoblanib, funksiyani qanoatlantirish uchun quyidagi tenglikdan foydalanish lozim:

elog⁡z=z{\displaystyle e^{\log z}=z}.

Asosiy qiymati

zw{\displaystyle z^w} murakkab ifodasining qiymati quyidagicha aniqlanadi[45]: zw=ewlog⁡z,{\displaystyle z^w=e^{w\log z},} bunda, log⁡z{\displaystyle \log z} – logarifmning asosiy qiymati hisoblanadi.

Koʻp qiymatli funksiya

Asosiy maqola: Koʻp qiymatli funksiya

Koʻp qiymatli funksiyalar deganda, biror argumentga bir nechta turli qiymatlarni beradigan funksiyalar tushuniladi. Masalan, logarifm funksiyasi koʻp qiymatli, chunki uning argumenti manfiy yoki kompleks sonlar boʻlishi mumkin va har bir argument uchun logarifmning bir nechta qiymatlari mavjud boʻladi[46].

Agar log⁡z{\displaystyle \log z} koʻp qiymatli logarifmning bir qiymatini ifodalasa, boshqa qiymatlar 2ikπ+log⁡z{\displaystyle 2ik\pi +\log z} orqali topiladi. Bunda, k – har qanday butun son[47].

Hisoblash

zw{\displaystyle z^w}ning kanonik yoyilmasi x+iy{\displaystyle x+iy} hisoblanadi. Bunda x hamda y haqiqiy sonlardir.

  • zning logarifmi. Logarifmning asosiy qiymati quyidagicha boʻladi[48]:
log⁡z=ln⁡ρ+iθ,{\displaystyle \log z=\ln \rho+i\theta,} bunda, ln⁡{\displaystyle \ln} natural logarifmni bildiradi.

Irratsionallik va transsendentallik

Gelfond–Schneider nazariyasiga koʻra, agar b musbat haqiqiy son hamda x ratsional son boʻlsa, unda bx algebraik son boʻladi[49][50].

Agar x irratsional boʻlsa hamda b va x algebraik son boʻlsa, bxning barcha qiymatlari transsendental boʻladi[51].

Algebrada butun sonli darajalar

Algebraik toʻplam, unga tegishli assotsiativ operatsiya hamda koʻpaytiruvchi birliklarning tuzilmasi monoid deb ataladi[sharh 3]. Bunday monoidda, xni darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi[52]:

  • x0=1,{\displaystyle x^0 = 1,}
  • xn+1=xxn{\displaystyle x^{n+1} = x x^n}, bunda n – manfiy boʻlmagan istalgan son.

Agar n manfiy butun son boʻlsa, xn{\displaystyle x^n} ifodasi (x−1)−n{\displaystyle \left(x^{-1}\right)^{-n}} shaklida yoziladi[53].

Daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar quyidagi qonuniyatlarga asoslanib ishlanadi:

x0=1xm+n=xmxn(xm)n=xmn(xy)n=xnynagarxy=yx,kommutativboʻlsa.{\displaystyle \begin{align} x^0&=1\\ x^{m+n}&=x^m x^n\\ (x^m)^n&=x^{mn}\\ (xy)^n&=x^n y^n \quad \text{agar } xy=yx, \text{kommutativ boʻlsa.} \end{align}} Kvadrat matritsa deb, A sonining oʻziga necha marta koʻpaytirilishiga aytiladi. Shuningdek, A0{\displaystyle A^0} esa matritsaning ayniyati hisoblanadi[54]. Teskari matritsa esa, quyidagi tenglikka asoslanadi:A−n=(A−1)n{\displaystyle A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n}.

Takroriy darajalar

Natural sonlarni qayta-qayta darajaga koʻtarish giperoperatsiyalarning 4-darajasi yoxud tetratsiya deb nomlanadi. Ketma-ket darajaga koʻtarishni Akkerman funksiyasi orqali ifodalash mumkin[55]. Misol uchun, 3 soni takroriy darajaga koʻtarilganda, 7625597484987 (=327 = 333 = 33) natijasini beradi.

Dasturlash tillarida

Darajaga koʻtarish amalini turli dasturlash tillari turlicha amalga oshiradi. Daraja koʻrsatkichini ifodalash eng keng tarqalgan belgi „caret“ (^) hisoblanadi. 1967-yilda Amerika standartiga oʻzgartirish kiritilgan. Bunda, (↑) belgisi oʻrnida (^) belgisidan foydalanishga oʻtilgan[56]. Hozirgi kunda daraja belgisini quyidagicha belgilashlar mavjud:

Yana qarang

Izohlar

  1. ↑ bning 2-darajasi deb aytsa ham boʻladi, biroq b kvadrat shakli keng ommalashgan.
  2. ↑ bning 3-darajasi deb aytsa ham boʻladi, biroq b kub shakli keng ommalashgan.
  3. ↑ Daraja assotsiativliligi deb ham ataladi

Manbalar

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Nykamp, Duane „Basic rules for exponentiation“. Math Insight. Qaraldi: 2020-yil 27-avgust.
  2. ↑ ҚАЮМОВ Ш, АРЗИҚУЛОВ Ғ.П.. ОЛИЙ МАТЕМАТИКА. Toshkent: ИСЛОМ КАРИМОВ НОМИДАГИ ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ, 2019 — 13-bet. 
  3. ↑ „exponent (n.)“. etymonline.com. Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  4. ↑ Rotman, Joseph J.. Advanced Modern Algebra, Part 1, 3rd, Graduate Studies in Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, 2015. ISBN 978-1-4704-1554-9. 
  5. ↑ Szabó, Árpád. The Beginnings of Greek Mathematics, Synthese Historical Library. Dordrecht: D. Reidel, 1978 — 37-bet. ISBN 90-277-0819-3. 
  6. ↑ Ball, W. W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics, 6th, London: Macmillan, 1915 — 38-bet. 
  7. ↑ Archimedes. (2009). THE SAND-RECKONER. In T. Heath (Ed.), The Works of Archimedes: Edited in Modern Notation with Introductory Chapters (Cambridge Library Collection – Mathematics, pp. 229-232). Cambridge: Cambridge University Press.
  8. ↑ Нуралиев Ф.М., Анарова Ш.А (2019). „Муҳаммад ал - Хоразмий асарлари, алгоритм тушунчаси ва алгоритмлаш назарияси асослари“ (PDF). Мухаммад ал-Хоразмий авлодлари. 6-bet.
  9. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi“, MacTutor History of Mathematics archive (ingliz){{citation}}: CS1 maint: unrecognized language ()
  10. ↑ Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. The Open Court Company, 1928 — 102-bet. 
  11. ↑ Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. London: Open Court Publishing Company, 1928 — 344-bet. 
  12. ↑ „Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (E)“ (2017-yil 23-iyun). 2023-yil 3-iyunda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 2024-yil 13-dekabr.
  13. ↑ Stifel, Michael. Arithmetica integra. Nuremberg: Johannes Petreius, 1544 — 235v-bet. 
  14. ↑ Quinion, Michael „Zenzizenzizenzic“. World Wide Words. Qaraldi: 2020-yil 16-aprel.
  15. ↑ Descartes, René „La Géométrie“, . Discourse de la méthode [...]. Leiden: Jan Maire, 1637 — 299-bet. „Et aa, ou a2, pour multiplier a par soy mesme; Et a3, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l’infini“  (And aa, or a2, in order to multiply a by itself; and a3, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity).
  16. ↑ Janet Shiver & Terri Wiilard "Scientific notation: working with orders of magnitude from Visionlearning
  17. ↑ „Exponentiation“. https://www.cuemath.com/.+Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  18. ↑ Hodge, Jonathan K.; Schlicker, Steven; Sundstorm, Ted. Abstract Algebra: an inquiry based approach. CRC Press, 2014 — 94-bet. ISBN 978-1-4665-6706-1. 
  19. ↑ Achatz, Thomas. Technical Shop Mathematics, 3rd, Industrial Press, 2005 — 101-bet. ISBN 978-0-8311-3086-2. 
  20. ↑ Knobloch, Eberhard. Trends in the Historiography of Science, Boston Studies in the Philosophy of Science. Springer Netherlands, 1994 — 276-bet. DOI:10.1007/978-94-017-3596-4_20. ISBN 9789401735964. „A positive power of zero is infinitely small, a negative power of zero is infinite.“ 
  21. ↑ „Power Sum“. mathworld.wolfram.com. Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  22. ↑ Michael Z. Spivey. „A Combinatorial View of Sums of Powers“. https://mathcs.pugetsound.edu/ (05.20.2021). 2024-yil 16-martda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  23. ↑ „Kilo“. dictionary.cambridge.org. Qaraldi: 14-dekabr 2024-yil.
  24. ↑ Lipschutz, Seymour. Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. New York: McGraw-Hill, 1982 — 3-bet. ISBN 0-07-037990-4. 
  25. ↑ Sewell, Michael J.. Mathematics Masterclasses. Oxford: Oxford University Press, 1997 — 78-bet. ISBN 0-19-851494-8. 
  26. ↑ „Basic rules for exponentiation“. mathinsight.org. Qaraldi: 14-dekabr 2024-yil.
  27. ↑ „Negative Exponents“. math.libretexts.org. Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  28. ↑ Hass, Joel R.; Heil, Christopher E.; Weir, Maurice D.; Thomas, George B.. Thomas' Calculus, 14, Pearson, 2018 — 7–8-bet. ISBN 9780134439020. 
  29. ↑ Б.И.Исломов, П.И.Шарипова. АЛГEБРА, МАТEМАТИКА. Тошкент молия институти қошидаги "Солиқ ва молия" лицейи, 16.12.2003 — 58-bet. 
  30. ↑ „Radicals and rational exponents“. https://www.khanacademy.org/.+Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  31. ↑ N.MJabborov, E.O.Aliqulov, Q.S.Axmedova. Oliy matematika. Qarshi: Qarshi davlat universiteti, 2010 — 14-bet. 
  32. ↑ „Real Exponents“. Stanford University. Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  33. ↑ 33,0 33,1 Denlinger, Charles G.. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett, 2011 — 278–283-bet. ISBN 978-0-7637-7947-4. 
  34. ↑ Tao, Terence „Limits of sequences“, . Analysis I, Texts and Readings in Mathematics, 2016 — 126–154-bet. DOI:10.1007/978-981-10-1789-6_6. ISBN 978-981-10-1789-6. 
  35. ↑ „Exponential Function Reference“. www.mathsisfun.com. Qaraldi: 2020-yil 28-avgust.
  36. ↑ „Using the Power Rule for Logarithms“. Saylor Academy. Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  37. ↑ „6. The complex exponential“. MIT Mathematics. Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  38. ↑ Muhammedov, Karim. Elementar matematikadan qo'llanma, SSSR Oliy va maxsus o'rta ta'lim ministrligi, Toshkent: "O'qituvchi" nashriyoti, 1976 — 94-bet. 
  39. ↑ „Lecture 39“. University of Waterloo. Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  40. ↑ A. U. Abduhamidov, H. A. Nasimov, U. M . Nosirov, / . H. Husanov, A kadem ik litseylar uchun darslik. Algebra va matematik analiz asoslari. "O'qituvchi" nashriyoti, 2007 — 160-bet. ISBN 978-9943-02-072-6. 
  41. ↑ Introduction to Algorithms, second, MIT Press, 2001. ISBN 978-0-262-03293-3.  Online resource (Wayback Machine saytida 2007-09-30 sanasida arxivlangan).
  42. ↑ Difference Equations: From Rabbits to Chaos, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2005. ISBN 978-0-387-23234-8.  Defined on p. 351.
  43. ↑ „The Exponential Form of a Complex Number“ (PDF). Newcastle University. 2008. 9-bet. 2025-05-26da asl nusxadan (PDF) arxivlandi. Qaraldi: 2024-12-16.
  44. ↑ „Complex Exponentiation“. brilliant.org. Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  45. ↑ „8.1: Non-Integer Powers as Multi-Valued Operations“. https://phys.libretexts.org/.+Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  46. ↑ „Multivalued Function“. https://mathworld.wolfram.com/.+Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  47. ↑ Complex functions, single and multivalued. West Texas A&M University, 2007-03-27 — 6-bet. 
  48. ↑ "Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen". Journal für die reine und angewandte Mathematik 2: 286–287. 1827. https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN243919689_0002%7Clog33&physid=phys301#navi. 
  49. ↑ F.R.Usmonov, R.D.Isomov, B.O.Xo'jayev. Matematikadan qo'llanma, 0‘zbekiston Respublikasi Oliy va o ‘rta maxsus ta’lim vazirligi, Toshkent: Yangi asr avlodi, 2006 — 162-bet. ISBN 6-633-1943. 
  50. ↑ „The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Result“. University of South Carolina. Qaraldi: 16-dekabr 2024-yil.
  51. ↑ Michel Waldschmidt. Irrationality and transcendence of values of special functions1. Annual Conference of Society for Special Functions and their Applications, 11.09.2016. 
  52. ↑ Linear Algebra and Geometry. Cambridge University Press, 1979 — 45-bet. ISBN 978-0-521-29324-2. 
  53. ↑ Algèbre. Springer, 1970. 
  54. ↑ Chapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton.
  55. ↑ Neyrinck, Mark. An Investigation of Arithmetic Operations. (Wayback Machine saytida 2024-06-19 sanasida arxivlangan) Retrieved 9 January 2019.
  56. ↑ Richard Gillam. Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard. Addison-Wesley Professional, 2003 — 33-bet. ISBN 0201700522. 
  57. ↑ Brice Carnahan; James O. Wilkes (1968), Introduction to Digital Computing and FORTRAN IV with MTS Applications, 2–2, 2–6-bet
  58. ↑ 58,0 58,1 „BASCOM - A BASIC compiler for TRS-80 I and II“. Popular Computing, Inc. (1982-yil 9-avgust), s. 41–42. 2020-yil 7-fevralda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 2020-yil 6-fevral.
  59. ↑ 59,0 59,1 "80 Contents". 80 Micro (1001001, Inc.) (45): 5. October 1983. ISSN 0744-7868. https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10. Qaraldi: 2020-02-06. Darajaga koʻtarish]]
  60. ↑ Robert W. Sebesta. Concepts of Programming Languages. Addison-Wesley, 2010 — 130, 324-bet. ISBN 978-0136073475. 

Adabiyotlar

Ilmiy adabiyotlar

  • ҚАЮМОВ Ш. ОЛИЙ МАТЕМАТИКА. ИСЛОМ КАРИМОВ НОМИДАГИ ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ: Toshkent, 2019 — 129-bet. 
  • Б.И.Исломов, П.И.Шарипова. АЛГEБРА, МАТEМАТИКА. АЛГEБРА, МАТEМАТИКА: Toshkent, 2003 — 224-bet. 
  • P. H. НАЗАРОВ, Б. Т. ТОШПУЛАТОВ, А. Д. ДУСУМБЕТОВ. АЛГЕБРА ВА СОНЛАР НАЗАРИЯСИ, АЛГEБРА, МАТEМАТИКА, 1993 — 320-bet. 
  • Карим Муҳаммедов. Элементар математикадан қўлланма. СССР Олий ва махсус ўрта таълим министрлиги: Ўқитувчи нашриёти, 1976 — 416-bet. 
  • A.U.Abduhamidov, H. A. Nasimov, U. M . Nosirov, H. Husanov. Algebra va matematik analiz asoslari. Akademik litseylar uchun darslik: "O'qituvchi" nashriyoti, 2007 — 400-bet. 
  • N. M. JABBOROV, Е. О. ALIQULOV, Q. S. AXMEDOVA. Oliy matematika. Qarshi: Qarshi davlat universiteti, 2010 — 423-bet. 
  • F.R.Usmonov, R.D.Isomov, B.O.Xo'jayev. Matematikadan qo'llanma. Yangi asr avlodi: 0‘zbekiston Respublikasi Oliy va o ‘rta maxsus ta’lim vazirligi, 2006 — 464-bet. 

Maqolalar

  • Нуралиев Ф.М., Анарова Ш.А. Муҳаммад ал - Хоразмий асарлари, алгоритм тушунчаси ва алгоритмлаш назарияси асослари. — 2019.

Havolalar

Listen to this article (0 minutes)
Fayl:Darajaga ko‘tarish (uzwiki).ogg
Spoken Wikipedia icon
This audio file was created from a revision of this article dated 2024-yil 15-dekabr (2024-12-15), and does not reflect subsequent edits.
(Audio help · More spoken articles)
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Darajaga_ko%CA%BBtarish" dan olindi