Elektronning davriy potensial maydondagi harakati

Электроннинг даврий потенсиал майдондаги ҳаракати

Электроннинг даврий ${\дисплайстйле У(х)}$ потенсиал майдондаги ҳаракатини кўриб чиқайлик. Ушбу ҳолат учун Счр${\дисплайстйле \ддот{\техт{о}}}$дингер тенгламасининг ечимини атом тўлқин функсияларининг кучли боғланиши усулидан фойдаланиб аниқлаймиз:

${\дисплайстйле \пси_н(х),\ \ққуад\ (н=1,2,\лдоц,\ Н)}$

бу ерда ${\дисплайстйле Н}$ — атом ячейкасининг ўлчами $а$ га тенг бўлган, катталиги $Л=на$ га тенг бўлган соҳадаги атомлар сони.

Ҳар бир атом ячейкасидаги то'лқин функсия қуйидаги кўринишдаги Счр${\дисплайстйле \ддот{\техт{о}}}$дингер тенгламасини қаноатлантиради:

${\дисплайстйле \лефт(-\дфраc{\ҳбар^2}{2м_0}\ригҳт)\пси_н''+У(х)\пси_н(х)=\варепсилон\пси_н(х),\ \ \ққуад c_н\леқ х\леқ c_{н+1} \ \ \ \ \ \ (1)}$

Шунингдек, ушбу функсия қийматлари атом ячейкасининг чегаравий қийматларида етарлича даражада кичик. Тўлқин функсиянинг нормаллаш шартидан фойдаланган ҳолатда, квазиклассик яқинлашиш учун қуйидагини ҳосил қиламиз[1]:

${\дисплайстйле \пси_н(х)= \бегин{cасес}$

   0, & х<c_н\\
   \сқрт{\дфраc{\омега_н}{2\пи|\ну_н(х)|}}\эхп{-\инт\лимиц_х^{а_н}|к(х)\техт{д}х},& c_н\леқ х<а_н\\
   \сқрт{\дфраc{2\омега_н}{2\пи|\ну_н(х)|}}\cос\лефт[\инт\лимиц_{а_н}^{х}|к(х)\техт{д}х-\дфраc{\пи}{4}\ригҳт],& а_н< х<б_н\\
   \сқрт{\дфраc{\омега_н}{2\пи|\ну_н(х)|}}\эхп{-\инт\лимиц_{б_н}^{х}|к(х)\техт{д}х},& б_н\леқ х<c_{н+1}\\
   0, & х\геқ c_{н+1}

\энд{cасес} \ \ \ \ \ \ (2)} бу ерда ${\дисплайстйле \омега_н}$ — даврий ҳаракат частотаси, уни қуйидагича аниқланади:

${\дисплайстйле \омега_н=\дфраc{\пи}{\инт\лимиц_а^б\дфраc{1}{\ну(х)}\техт{д}х}}$

Кристалл панжарадаги тўлқин функсиялар ${\дисплайстйле \пси_м(х)}$ ни атом тўлқин функсияларининг йиғиндиси кўринишида аниқлаш мумкин:

${\дисплайстйле \пси_м(х)=Н^{-1/2}\сум\лимиц_{н=1}^Н э^{ик_мна}\пси_н(х) \ \ \ \ \ \ (3)}$

(3) формулада ${\дисплайстйле к_м=\дфраc{2\пи}{Н_а}м=\дфраc{2\пи}{Л}м}$ бўлади ва ушбу (3) ифода ${\дисплайстйле c_0\леқ х\леқ c_Н}$ соҳада Счр${\дисплайстйле \ддот{\техт{о}}}$дингер тенгламасини қаноатлантиради:

${\дисплайстйле -\дфраc{\ҳбар^2}{2м_0}\пси''(х)+У(х)\пси_м(х)=Э_м\пси_м(х)}$

Бу ҳолда Борн-Карман даврийлик шарти бажарилади, деб ҳисоблаш мумкин:

${\дисплайстйле \пси_м(х+Ла)=\пси_м(х)}$

${\дисплайстйле Э_м}$ нинг қийматини аниқлаш учун (2) тенгламани ${\дисплайстйле \пси_м(х)}$ га кўпайтирамиз, (1) тенгламани эса ${\дисплайстйле \пси_н(х)}$ га кўпайтирамиз. Сўнг ҳосил бўлган тенгламаларни тўла фазо бўйича интеграллаб, биринчисидан иккинчисини айирамиз.

Интеграл остида (1) ифода турганлиги учун, амалда интеграллаш чегараси сифатида ${\дисплайстйле c_н\леқ х\леқ c_{н+1}}$ олинади[2]:

${\дисплайстйле \лефт(-\дфраc{\ҳбар^2}{2м_0}\ригҳт) \инт(\пси_м''(х)\пси_н(х)-\пси_н''(х)\пси_м(х))\техт{д}х= (Э_м-\варепсилон)\инт\пси_м(х)\пси_н(х)\техт{д}х}$

${\дисплайстйле \пси_м(х)}$ учун (2) ифодадан фойдаланган ҳолда, қуйидагини ҳосил қиламиз:

${\дисплайстйле \лефт(-\дфраc{\ҳбар^2}{2м_0}\ригҳт)(\пси_м'(х)\пси_н(х)-\пси'_н(х)\пси_м(х))\бигг|_{c_н}^{c_{н+1}}= (Э_м-\варепсилон)Н^{-1/2}э^{ик_мна}}$

Энди эса ҳосил бўлган тенгликнинг чап тарафини батафсил кўриб чиқамиз:

${\дисплайстйле \лефт(-\дфраc{\ҳбар^2}{2м_0}\ригҳт)(\пси'_м(c_{н+1})\пси_н(c_{н+1})-\пси'_н(c_{н+1})\пси_м(c_{н+1})-\пси_м'(c_н)\пси_н(c_н)+\пси_н'(c_н)\пси_м(c_н)) =\лефт(-\дфраc{\ҳбар^2}{2м_0}\ригҳт)\дфраc{1}{\сқрт{Н}}э^{ик_мна}\бигг\{ \пси'_н(c_{н+1})\пси_н(c_{н+1})+\пси'_{н+1}(c_{н+1})\пси_н(c_{н+1})э^{ик_ма} -\пси'_н(c_{н+1})\пси_н(c_{н+1})-\пси'_н(c_{н+1})\пси_{н+1}(c_{н+1})э^{ик_ма}-\пси'_н(c_н)\пси_н(c_н)-\пси'_{н-1}(c_н)\пси_н(c_н)э^{-ик_ма} +\пси_н'(c_н)\пси_н(c_н)+\пси'(c_н)\пси_{н-1}(c_н)э^{-ик_ма}\бигг\} =\лефт(-\дфраc{\ҳбар^2}{2м_0}\ригҳт)\дфраc{1}{\сқрт{Н}}э^{ик_мна} \бигг\{ \пси'_{н+1}(c_{н+1})\пси_{н}(c_{н+1})+\пси'_{н}(c_{н+1})\пси_{н+1}(c_{н+1})э^{ик_ма} \пси_н'(c_н)\пси_{н-1}(c_н)+\пси_{н-1}'(c_н)\пси_{н}(c_н)э^{-ик_ма}\бигг\}.}$

(2) га биноан:

${\дисплайстйле \бегин{cасес} \пси'_{н+1}(c_{н+1})=|к(c_{н+1})|\пси_{н+1}(c_{н+1})\\ \пси'_н(c_{н+1})=-|к(c_{н+1})|\пси_н(c_{н+1})\\ \пси'_н(c_н)=|к(c_н)\пси_н(c_н)\\ \пси_{н-1}'(c_н)=-|к(c_н)|\пси_{н-1}(c_н) \энд{cасес}}$

Бундан келиб чиқадики

${\дисплайстйле -\дфраc{\ҳбар^2}{2м}\бигг\{2|к(c_{н+1}|\пси_{н+1}(c_{н+1})\пси(c_{н+1})э^{ик_ма}+2|к(c_н)\пси_н(c_н)|\пси_н(c_н)\пси_{н-1}(c_н)э^{-ик_ма}\бигг\}=Э_м-\варепсилон}$

Кристаллнинг даврийлик хоссасидан фойдалансак

${\дисплайстйле |к(c_н)=|к(c_{н+1})|;\ \ққуад\ \пси_н(c_н)\пси_{н-1}(c_н)=\пси_{н+1}(c_{н+1})\пси_н(c_{н+1})}$

Натижада қуйидаги ифода ҳосил бўлади:

${\дисплайстйле Э_м=\варепсилон -\дфраc{\ҳбар^2}{м_0}\cдот2|к(c_н)\пси_{н+1}(c_{н+1})\пси_н(c_{н+1})\cос к_ма}$

Ёки тўлқин функсия учун (2)тенгламага қўйсак,

${\дисплайстйле Э_м=\варепсилон-\дфраc{\ҳбар\омега}{\пи}\эхп{-\инт\лимиц_{б_н}^{а_{н+1}}|к(х)\техт{д}х}\cос к_ма,\ \қуад\ м=1,2,3,\лдоц,Н \ \ \ \ \ \ (4)}$

Шундай қилиб, (4) дан кўриниб турибдики, ҳар бир ${\дисплайстйле \варепсилон}$ атом сатҳи, ${\дисплайстйле Н}$ та атомнинг чизиқли занжирга бирлашиши натижасида ${\дисплайстйле Н}$ та сатҳдан иборат бўлган полосаларга ажралади. Ҳар бир полоса кенглиги ${\дисплайстйле \Делта Э}$ қуйидагига тенг бўлади:

${\дисплайстйле \Делта Э=\дфраc{2\ҳбар\омега_н}{\пи}\эхп{-\инт\лимиц_{б_н}^{а_{н+1}}|к(х)|\техт{д}х}}$

Агар занжирдаги ҳар бир атом таркибида иккитадан электрон бўлса, Паули принсипига биноан, ${\дисплайстйле Н}$ та сатҳларнинг ҳаммаси электронлар билан тўлган бўлади. Бундай чизиқли занжир ўзини худди изолятор каби тутади. Яъни электр майдон қўйилганда ҳам унда ток ҳосил бўлмайди. Агар занжирдаги ҳар бир атом биттадан электронга эга бўлса, сатҳлар тенг ярмигача тўлган бўлади. Бундай чизиқли модел о'тказгичларга мос келади. Электр майдон қўйилганда, электронларнинг энергияси ортади, яъни электр токи оқади.

Манбалар

1. Типлер, Паул & Ралпҳ Ллеwеллйн, Модерн Пҳйсиcс (4тҳ эд.). Неw Ёрк: W. Ҳ. Фреэман анд Cомпанй. ИСБН 0-7167-4345-0
2. Гералд Тесчл, Матҳематиcал Метҳодс ин Қуантум Мечаниcс; Wитҳ Апплиcатионс то Счрöдингер Операторс. Америcан Матҳематиcал Соcиэтй. ИСБН 978-0-8218-4660-5.
3. исwессер, Wиллиам Ж. , „Тҳе Периодиc Сйстем анд Атомиc Струcтуре И. Ан Элементарй Пҳйсиcал Аппроач“. Жоурнал оф Чемиcал Эдуcатион. 22 (7): 314-322.
4. Галлагҳер, Тҳомас Ф., Рйдберг Атомс. Cамбридге Университй Пресс. ИСБН 978-0-521-02166-1.
5. Матвеэв А. Н., Қуантум мечаниcс анд струcтуре оф атомс, Мосcоw, Ҳигҳ Счоол Пресс., 1985, (транслатед то энг. 1990), пп 119-122
6. Качнелсон, М.И, Поликарпов А. Ф., Интродуcтион то Атомиc Пҳйсиcс, М., 2017, пп 119-125