Gamov nazariyasi

Gamov nazariyasi - radioaktiv yadrolarning $\alpha$-parchalanishini kvant tasavvurlar asosida tushuntirib beruvchi nazariya.

$\alpha$-parchalanish deganda, ogʻir yadrolarning oʻzidan geliy atomining yadrosini chiqarib, boshqa yadroga aylanishi tushuniladi. $\alpha$-parchalanish uchun energetik shart quyidagi koʻrinishga ega:

$M(A,\ Z) >M(A-4,\ Z-2) + M_\alpha$

Parchalanishda hosil boʻlgan energiya quyidagi ifoda orqali topiladi:

$Q_\alpha = ( M(A,\ Z) - M(A-4,\ Z-2) - M_\alpha ) c^2,$

Energiya va impulsning saqlanish qonunlaridan foydalanib, $\alpha$-zarra yadroni tark etayotganida ega boʻladigan kinetik energiyasini aniqlash mumkin:

$T_\alpha=\dfrac{M(A-4,\ Z-2)}{m_\alpha+M(A-4,\ Z-2)}Q_\alpha$

$\alpha$-parchalanishda hosil boʻlgan $\alpha$-zarra kinetik energiyasi 2-8 MeV atrofida boʻladi, $\alpha$-zarraning yadroga bogʻlanish energiyasi esa 28.3 MeV ga teng. U holda $\alpha$-zarra yadroni qanday tark etadi, degan tabiiy savol tugʻiladi. Bunga G. A. Gamov kvant tasavvurlar asosida ishlab chiqqan nazariyasi orqali javob topish mumkin.

Gamov nazariyasi quyidagi prinsiplarga asoslanadi:

• $\alpha$-zarra yadro ichida tayyor holda mavjud boʻladi.
• $\alpha$-zarra tinimsiz harakatda boʻladi va potensial toʻsiq orqali yadro ichida tutib turiladi.
• $\alpha$-zarra ushbu potensial toʻsiq orqali oʻtishi mumkin.

Vaqt birligidagi parchalanish ehtimolligi $\lambda$ ni quyidagi ifoda orqali aniqlash mumkin:

$\lambda=nT$

$n$ — $\alpha$-zarraning yadro ichida potensial toʻsiq bilan toʻqnashishlari soni, $T$ — $\alpha$-zarraning toʻsiq orqali oʻtish ehtimolligi.

Aytaylik, ixtiyoriy vaqt momentida yadro ichida faqat bitta $\alpha$-zarra mavjud boʻlsin va u yadro diametri boʻylab oldinga va orqaga harakatlanayotgan boʻlsin.

$\nu=\dfrac{v}{2R_0}$

$v$ — $\alpha$-zarraning yadroni tark etayotgandagi tezligi.

Kengligi $L$ boʻlgan toʻsiqdan zarraning oʻtish ehtimolligi:

$T=e^{-2k_2L},\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

$k_2=\dfrac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar}$

(1) tenglama toʻgʻri burchakli potensial toʻsiqni ifodalaydi, $\alpha$-zarra yadro ichida toʻsiq bilan koʻp marta toʻqnashadi.

$\ln T=-2k_2L,\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

$\ln T=-2\int\limits_0^Lk_2(r)\,dr=-2\int\limits_{R_0}^Rk_2(r)\,dr,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

$R_0$ — yadro radiusi, $R$ — $U=E$ boʻlganda, yadrogacha masofa

$\alpha$-zarraning $r$ masofadagi elektr potensial energiyasi:

$U(r)=\dfrac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r}$

U holda,

$k_2=\dfrac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar}=\left(\dfrac{2m}{\hbar^2}\right)^{1/2}\cdot\left(\dfrac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r}-E\right)^{1/2}$

$r = R$ boʻlganda $U=E$ boʻlgani uchun,

$E=\dfrac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0R}$

$k_2$ ni quyidagicha yozish mumkin:

$k_2=\left(\dfrac{2m}{\hbar^2}\right)^{1/2}\cdot\left(\dfrac{R}{r}-1\right)^{1/2}$

$\ln T = -2\int\limits_{R_0}^{R}k_2(r)\,dr=-2\left(\dfrac{2mE}{\hbar^2}\right)^{1/2}\cdot\left(\dfrac{R}{r}-1\right)^{1/2}\,dr\ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

$\left[r=R\cos^2\theta,\ \ \ dr=-2R\sin\theta\cos\theta d\theta\right]$

$\left[\int\left(\dfrac{R}{r}-1\right)^{1/2}\,dr=-2R\int\sin^2\theta\,d\theta\right]$

$\ln T=-2\left(\dfrac{2mE}{\hbar^2}\right)^{1/2}R\left[ \cos^{-1}\left(\dfrac{R_0}{R}\right)^{1/2}-\left(\dfrac{R_0}{R}\right)^{1/2}\left(1-\dfrac{R_0}{R}\right)^{1/2} \right]$

Potensial toʻsiq yetarlicha keng boʻlgani uchun, $R\gg R_0$ hamda

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta$

$\sin\left(\dfrac{R_0}{R}\right)^{1/2}\approx\left(\dfrac{R_0}{R}\right)^{1/2}$

$\cos^{-1}\left(\dfrac{R_0}{R}\right)^{1/2}\approx\dfrac{\pi}{2}-\left(\dfrac{R_0}{R}\right)^{1/2}$

$1-\left(\dfrac{R_0}{R}\right)^{1/2}\approx1$

$\ln T=-2\left(\dfrac{2mE}{\hbar^2}\right)^{1/2}r\left[\dfrac{\pi}{2}-2\left(\dfrac{R_0}{R}\right)^{1/2}\right]$

$\left[R=\dfrac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0E}\right]$

Bundan kelib chiqadiki,

$\ln T=\dfrac{4e}{\hbar}\left(\dfrac{m}{\pi\varepsilon_0}\right)^{1/2}Z^{1/2}R_0^{1/2}-\dfrac{e^2}{\hbar\varepsilon_0}\left(\dfrac{m}{2}\right)^{1/2}ZE^{-1/2}$

Tenglamadagi doimiylarning qiymatlarini oʻrniga qoʻyib hisoblasak:

$\ln T=2,97Z^{1/2}R_0^{1/2}-3,95ZE^{-1/2}$

$E$ — energiya, $R_0$ — yadro radiusi, $Z$ — hosilaviy yadroning tartib raqami.

$\log_{10}A=\left(\log_{10}e\right)(\ln A)=0,4343\ln A$

$\log_{10}T=1,29Z^{1/2}R_0^{1/2}-1,72ZE^{-1/2}$

Taʼrifga binoan, parchalanish doimiysi

$\lambda=\nu T=\dfrac{v}{2R_0}T$

Tenglamaning ikkala tomonidan $\log_{10}$ olamiz va $T$ bilan almashtiramiz:

$\log_{10}\lambda=\log_{10}\left(\dfrac{v}{2R_0}\right)+1,92Z^{1/2}R_0^{1/2}-1,72ZE^{-1/2}$

Hosil boʻlgan bu formulaga Geyger-Nettol qonuni deyiladi. Ushbu qonun $\alpha$-parchalanish energiyasi va radioaktiv yadrolarning yarim yemirilish davrlari orasidagi bogʻliqlikni ifodalaydi va katta amaliy ahamiyatga ega.

Shuningdek qarang

Beta-yemirilish

Gamma nurlanish

Radioaktivlik qonuni

Manbalar

1. Yoon, Jin-Hee; Wong, Cheuk-Yin (February 9, 2008). „Relativistic Modification of the Gamow Factor“. Physical Review C. 61. arXiv:nucl-th/9908079. Bibcode:2000PhRvC..61d4905Y. doi:10.1103/PhysRevC.61.044905
2. Quantum Theory of the Atomic Nucleus, G. Gamow. Translated to English from: G. Gamow, ZP, 51, 204