Ziyosfera

Gaussning eng kam cheklash prinsipi

Karl Fridrix Gauss

Eng kam cheklash prinsipi 1829 yilda Karl Fridrix Gauss tomonidan taʼkidlangan klassik mexanikaning bir variatsion formulasi boʻlib, analitik mexanikaning barcha boshqa formulalariga tengdir. Intuitiv ravishda, u cheklangan jismoniy tizimning tezlashishi mos keladigan cheklanmagan tizimning tezlashishiga imkon qadar oʻxshashligini aytadi[1].

Bayonot

Eng kam cheklash prinsipi eng kichik kvadratlar prinsipi boʻlib, mexanik tizimning haqiqiy tezlanishini koʻrsatadi. n{\displaystyle n} massalar miqdorning minimalidir:

Z=def∑j=1nmj⋅|r¨j−Fjmj|2{\displaystyle Z \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sum_{j=1}^{n} m_j \cdot \left| \, \ddot \mathbf{r}_j - \frac{\mathbf{F}_j}{m_j} \right|^{2}}

bu yerda j zarracha massaga ega mj{\displaystyle m_j}, pozitsiya vektori rj{\displaystyle \mathbf{r}_j}, va cheklanmagan kuch qoʻllanadi Fj{\displaystyle \mathbf{F}_j} massaga taʼsir qiladi.

Belgilash r˙{\displaystyle \dot \mathbf{r}} vektor funksiyaning vaqt hosilasini koʻrsatadi r(t){\displaystyle \mathbf{r}(t)}, yaʼni pozitsiya. Tegishli tezlanishlar r¨j{\displaystyle \ddot \mathbf{r}_j} umuman tizimning joriy {rj(t),r˙j(t)}{\displaystyle \{ \mathbf{r}_j(t), \dot \mathbf{r}_j(t) \}} holatiga bogʻliq boʻlgan cheklovlarni qondirish;

Faolligi tufayli esga olinadi Fj{\displaystyle \mathbf{F}_j} va reaktiv (cheklov) Fcj{\displaystyle \mathbf{F_c}_j} qoʻllanadigan kuchlar, natijada R=∑j=1nFj+Fcj{\displaystyle \mathbf{R} = \sum_{j=1}^{n} \mathbf{F}_j + \mathbf{F_c}_j}, tizim tezlashuvni boshdan kechiradi r¨=∑j=1nFjmj+Fcjmj=∑j=1naj+acj{\displaystyle \ddot \mathbf{r} = \sum_{j=1}^{n} \frac{ \mathbf{F}_j }{ m_j } + \frac{ \mathbf{F_c}_j }{m_j} = \sum_{j=1}^{n} \mathbf{a}_j + \mathbf{a_c}_j} .

Boshqa formulalar bilan bogʻlanish

Gauss prinsipi D’Alember prinsipiga teng.

Eng kam cheklash prinsipi Gamilton prinsipiga sifat jihatidan oʻxshash boʻlib, u mexanik tizim tomonidan bosib oʻtilgan haqiqiy yoʻl harakatning ekstremumi ekanligini aytadi. Biroq, Gauss prinsipi haqiqiy (mahalliy) minimal prinsipdir, ikkinchisi esa ekstremal prinsipdir.

Gertsning eng kam egrilik prinsipi

Geynrix Gerts

Hertzning eng kam egrilik prinsipi Gauss prinsipining alohida holati boʻlib, tashqi qoʻllanadigan kuchlar, oʻzaro taʼsirlar (odatda potensial energiya sifatida ifodalanishi mumkin) va barcha massalar teng boʻlgan ikkita shart bilan cheklangan. Umumiylikni yoʻqotmasdan, massalar birga teng boʻlishi mumkin. Bunday sharoitda Gaussning minimallashtirilgan miqdori yozilishi mumkin:

Z=∑j=1n|r¨j|2{\displaystyle Z = \sum_{j=1}^{n} \left| \ddot \mathbf{r}_j \right|^{2}}

Kinetik energiya T{\displaystyle T} bu sharoitda ham saqlanib qoladi:

T=def12∑j=1n|r˙j|2{\displaystyle T \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \left| \dot \mathbf{r}_j \right|^{2}}

Chiziq elementidan ds2{\displaystyle ds^{2}} beri ichida 3N{\displaystyle 3N} -koordinatalarning oʻlchovli fazosi aniqlangan

ds2=def∑j=1n|drj|2{\displaystyle ds^{2} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{j=1}^{n} \left| d\mathbf{r}_j \right|^{2}}

energiyaning saqlanishi ham yozilishi mumkin:

(dsdt)2=2T{\displaystyle \left( \frac{ds}{dt} \right)^{2} = 2T}

Z{\displaystyle Z} tomonidan boʻlinish 2T{\displaystyle 2T} va boshqa minimal miqdorni beradi:

K=def∑j=1n|d2rjds2|2{\displaystyle K \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{j=1}^{n} \left| \frac{d^{2} \mathbf{r}_j}{ds^{2}}\right|^{2}}

beri K{\displaystyle \sqrt{K}} da traektoriyaning mahalliy egriligidir 3n{\displaystyle 3n} -koordinatalarning oʻlchovli fazosi, minimallashtirish K{\displaystyle K} cheklovlarga mos keladigan eng kam egrilik (geodezik) traektoriyasini topishga teng.

Hertz prinsipi, shuningdek, Yakobining eng kam taʼsir prinsipini shakllantirishining alohida holatidir.

Manbalar

  1. ↑ Azad, Morteza; Babič, Jan; Mistry, Michael (2019-10-01). "Effects of the weighting matrix on dynamic manipulability of robots" (en). Autonomous Robots 43 (7): 1867–1879. doi:10.1007/s10514-018-09819-y. ISSN 1573-7527.  
"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Gaussning_eng_kam_cheklash_prinsipi" dan olindi