Halqa nazaryasi

Ҳалқа назариясида мавҳум алгебранинг бир бўлими, коэффициэнт ҳалқаси, фарқли ҳалқа ёки қолдиқ синф ҳалқаси сифатида ҳам яхши танилган бўлиб, гуруҳ назариясидаги бўлим гуруҳига ва чизиқли алгебрадаги бўлинма фазосига жуда ўхшаш конструкциялардан бири. У универсал алгебранинг умумий созламасидан кўриниб турибдики, бу қисмнинг ўзига хос намунаси ҳисобланади. Р ҳалқасидан ва Р да икки томонлама идеал И дан бошлаб, янги ҳалқа, қисм ҳалқаси Р / И келиб чиқади, унинг элементлари Р даги И нинг косетлари бўлиб, махсус + ва -операцияларига боғлиқ бўлади. (Фақат „/“ каср қийшиқ чизиғи бўлим ҳалқаси белгисида ишлатилади, горизонтал каср сатри бўлмайди.)

Қисм ҳалқалари интеграл соҳанинг „бўлим майдони“ ёки касрлар майдони деб аталадиган мисоллардан, шунингдек локализация натижасида олинган умумий „бўлимлар ҳалқалари“ дан ҳам жуда катта фарқ қилади.

Расмий қисм ҳалқасининг ясалиши

Ҳалқа берилган ${\дисплайстйле Р}$ ва икки томонлама идеал ${\дисплайстйле И}$ ичида ${\дисплайстйле Р}$, эквивалентлик муносабатини белгилашимиз ҳам мумкин бўлади ${\дисплайстйле \сим}$ ёқилган ${\дисплайстйле Р}$ қуйида баён қилсак бўлади:

${\дисплайстйле а\сим б}$ агар ва фақат агар ${\дисплайстйле а-б}$ ичида жойлашган ${\дисплайстйле И}$ га тенг.

Идеал хусусиятлардан фойдаланиб, буни текшириш қийин эмас ${\дисплайстйле \сим}$ мувофиқлик муносабатидир ҳисобланади. Бўлган ҳолатда ${\дисплайстйле а\сим б}$, биз шуни айтамиз ${\дисплайстйле а}$ ва ${\дисплайстйле б}$ мос модуллардир ${\дисплайстйле И}$ ҳисобланади. Элементнинг эквивалентлик класси ${\дисплайстйле а}$ ичида ${\дисплайстйле Р}$ томонидан берилади ва у қуйидагича бўлади

${\дисплайстйле [а]=а+И := \{а+р: р\ин И\}}$ .

Бу эквивалентлик синфи баъзан шундай ёзилади ${\дисплайстйле а \бмод И}$ ва „қолдиқ синфи“ деб ҳам аталади ${\дисплайстйле а}$ модул ${\дисплайстйле И}$ га тенг ".

Бундай барча эквивалентлик синфлари тўплами билан белгиланади ${\дисплайстйле Р/И}$ ; у ҳалқага, фактор ҳалқасига ёки коэффициэнт ҳалқасига айланиши ҳам ${\дисплайстйле Р}$ модул ${\дисплайстйле И}$, агар бири аниқласа қолганлари қуйидагича топилади

• ${\дисплайстйле (а+И)+(б+И)=(а+б)+И}$ ;
• ${\дисплайстйле (а+И)(б+И)=(аб)+И}$ .

(Бу ерда ушбу таърифлар аниқ белгиланганлигини текшириш керак бўлади. Косет ва қуотиэнт гуруҳини солиштирамиз) нинг нол элементи ${\дисплайстйле Р/И}$ ҳисобланади ва ${\дисплайстйле \бар{0}=(0+И)=И}$ мултипликатив ўзига хослик ${\дисплайстйле \бар{1} = (1+И)}$ га тенг бўлади .

Харита ${\дисплайстйле п}$ дан ${\дисплайстйле Р}$ учун ${\дисплайстйле Р/И}$ томонидан белгиланади ва қуйидаги қийматларда ${\дисплайстйле п(а)=а+И}$ суректив ҳалқа ҳомоморфизми ҳисобланади, баъзан табиий қисм харитаси ёки каноник ҳомоморфизм деб ҳам аталади.

Мисоллар

• Р / {0 } қисм ҳалқаси табиий равишда Р га изоморф, Р / Р эса нол ҳалқа {0}, чунки бизнинг таърифимиз бўйича Р даги ҳар қандай р учун бизда [р] = р + "Р" := {р + б : б ∈ "Р" мавжуд.[р] = р + "Р" := {р + б : б ∈ "Р" }}, бу Р нинг ўзига тенг. Бу идеал И қанчалик катта бўлса, Р / И ҳалқасининг кичиклиги ҳақидаги асосий қоидага мос келади. Агар И Р нинг тўғри идеали бўлса, яъни И ≠ Р бўлса, у ҳолда Р / И нол ҳалқа эмас.
• З бутун сонлар ҳалқасини ва 2 З билан белгиланган жуфт сонлар идеалини кўриб чиқайлик. У ҳолда З / 2З қисм ҳалқаси фақат иккита элементга эга бўлиб, жуфт сонлардан иборат косет 0+2З ва тоқ сонлардан ташкил топган 1+2З косетаси; таърифни қўллаш, , бу ерда 2 З жуфт сонларнинг идеали. Икки элемент Ф ₂ бўлган чекли майдон учун табиий равишда изоморф бўлади. Интуитив равишда: агар сиз барча жуфт рақамларни 0 деб ҳисобласангиз, ҳар бир бутун сон ё 0 (агар у жуфт бўлса) ёки 1 (агар у тоқ бўлса ва шунинг учун жуфт сондан 1 га фарқ қилса) бўлади. Модулли арифметика асосан З / нЗ (н та элементдан иборат) ҳалқадаги арифметикдир.
• Энди Х ўзгарувчисидаги кўпҳадлар ҳалқасини реал коэффициэнтлар, Р [ Х ] ва кўпҳаднинг барча кўпайтмаларидан ташкил топган идеал кўриб чиқайлик. Қисм ҳалқаси мураккаб сонлар майдонига табиий равишда изоморф бўлиб, синф [ Х ] хаёлий бирлик и ролини ўйнайди. Бунинг сабаби шундаки, биз „мажбур қилдик“, яъни , и нинг аниқловчи хусусияти.
• Олдинги мисолни умумлаштирадиган бўлсак, кўпинча дала кенгайтмаларини қуриш учун қисм ҳалқалари қўлланади. Фараз қилайлик, К қандайдир майдон, ф эса К [ Х ] даги қайтарилмас кўпҳад бўлсин. У ҳолда Л = К[Х] / (ф) К га нисбатан минимал полиноми ф бўлган майдон бўлиб, у К элементи билан бир қаторда х = Х + (ф) элементини ҳам ўз ичига олади.
• Олдинги мисолнинг муҳим мисолларидан бири чекланган майдонларни қуришдир. Масалан, учта элементли Ф₃ = З / 3З майдонини кўриб чиқинг. кўпҳад Ф ₃ га нисбатан қайтарилмайди (чунки унинг илдизи йўқ) ва биз Ф₃[Х] / (ф) бўлак ҳалқасини қуришимиз мумкин. Бу Ф ₉ билан белгиланган 3² = 9 элементдан иборат майдон. Бошқа чекланган майдонлар ҳам худди шундай тарзда тузилиши мумкин.
• Алгебраик навларнинг координата ҳалқалари алгебраик геометрияда бўлиниш ҳалқаларининг муҳим намунасидир. Оддий ҳолат сифатида, ҳақиқий В = {(х, й) | х² = й³  хилма-хиллигини кўриб чиқинг В = {(х, й) | х² = й³ } ҳақиқий Р ² текисликнинг кичик тўплами сифатида. В да аниқланган реал қийматли полином функсиялар ҳалқасини координатали ҳалқа билан аниқлаш мумкин ва бу В нинг координатали ҳалқасидир. Энди В нави унинг координатали ҳалқасини ўрганиш орқали текширилади.
• Фараз қилайлик, М C ^∞ – манифолд, п эса М нуқтаси бўлсин. М да аниқланган барча C ^∞ -функцияларнинг Р = C^∞(М) ҳалқасини кўриб чиқайлик ва у п нинг баъзи У қўшниларида бир хил нолга тенг бўлган ф функциялардан иборат Р да И идеал бўлсин (бу ерда У ф га боғлиқ бўлиши мумкин) . Кейин кўрсаткич ҳалқаси Р / И да М устида C ^∞ -функцияларининг микроблари ҳалқасидир.
• Гиперреал майдоннинг чекли элементларининг Ф ҳалқасини кўриб чиқайлик * Р . У стандарт реалдан чексиз кичик миқдор ёки эквивалент билан фарқ қилувчи барча гиперреал сонлардан иборат: −н < х < н стандарт тамсайı н мавжуд бўлган барча гиперреал сонлардан х . * Р даги барча чексиз кичик сонларнинг И тўплами, 0 билан бирга, Ф да идеал ва Ф / И бўлинма ҳалқаси Р ҳақиқий рақамларига изоморфикдир. Изоморфизм Ф нинг ҳар бир х элементига х нинг стандарт қисмини, яъни х дан чексиз кичик билан фарқ қилувчи ягона ҳақиқий сонни боғлаш орқали индукция қилинади. Ҳақиқатдан ҳам худди шундай натижага эришилади, яъни Р, агар чекли гиперрационалларнинг Ф ҳалқасидан бошланса (яъни, гиперинтегерлар жуфтлиги нисбати), ҳақиқий сонлар қурилишига қаранг.

Мураккаб текисликларнинг ўзгариши

Р[Х] / (Х), Р[Х] / (Х + 1) ва Р[Х] / (Х − 1) бўлаклари Р учун изоморф бўлиб уларга қуйидагича аввалига унчалик қизиқиш уйғотмайди. Лекин шуни ёдда тутингки, геометрик алгебрада иккилик сонлар текислиги деб ҳам аталиши мумкин. У Р [Х] элементини Х2 га қисқартиргандан сўнг „қолдиқлар“ сифатида фақат чизиқли ечимлари биномиаллардан иборат ҳам бўлади. Мураккаб текисликнинг бу ўзгариши алгебрада ҳақиқий чизиқ ва нилпотент бўлганда субалгебра сифатида пайдо бўлади ва қуйидагича бўлиши ҳам мумкин.

Бундан ташқари, ҳалқа коэффициэнти Р[Х] / (Х + 1) ва Р[Х] / (Х − 1) га бўлинади, шунинг учун бу ҳалқа кўпинча тўғридан-тўғри кўринади. йиғиндиси Р ⊕ Р Шунга қарамай, з = х + й ж комплекс сонларнинг ўзгаришини ж томонидан нинг илдизи сифатида таклиф қилинади, и эса нинг илдизи сифатида. Ажратилган мураккаб сонларнинг бу текислиги алгебранинг ўзига хослиги нолдан бирлик масофада жойлашган 2-фазо учун асосини таъминлаш орқали Р ⊕ Р тўғридан-тўғри йиғиндисини нормаллаштиради. Шу асосда бирлик гиперболани оддий комплекс текисликнинг бирлик доираси билан солиштириш мумкин.

Квартернионлар ва вариациялар

Фараз қилайлик, Х ва Й иккита, ўзгармас, ноаниқ ва эркин алгебрасини ҳосил қилади. Кейин Гамилтоннинг 1843 йилдаги кватернионлари сифатида қуйиш мумкин

${\дисплайстйле \матҳбф{Р} \лангле Х, Й \рангле / ( Х^2 + 1, Й^2 + 1, ХЙ + ЙХ ) .}$

Агар ўрнига қўйилган бўлса, у ҳолда бўлинган кватернионлар ҳалқаси олинади. Анти-коммутатив хусусият ЙХ = −ХЙ ХЙ ўз квадратига эга эканлигини англатади

(ХЙ)(ХЙ) = Х (ЙХ) Й = − Х (ХЙ) Й = −(ХХ)(ЙЙ) = −(−1)(+1) = +1.

Иккала квадратик биномида плюс ўрнига минус қўйиш ҳам бўлиниш ҳам кватернионларига олиб келиши мумкин.

Учта турдаги биқуатернионларни эркин алгебра ёрдамида учта ноаниқ Р ⟨Х,Й,З ⟩ билан ва тегишли идеалларни яратиш орқали ҳам бўлаклар сифатида ёзишимиз мумкин бўлади.

Хусусиятлари

Шубҳасиз, агар Р коммутатив ҳалқа бўлса, Р / И ҳам шундай бўлади; аммо тескари умуман олганда, тўғри келмайди.

Табиий бўлим харитаси п ўзининг ядроси сифатида И га эга ҳисобланади; ҳар бир ҳалқа гомоморфизмининг ядроси икки томонлама идеал бўлганлиги учун, икки томонлама идеаллар айнан ҳалқа гомоморфизмларининг ядроси эканлигини айтишимиз ҳам мумкин.

Ҳалқа гомоморфизмлари, ядролари ва қисм ҳалқалари ўртасидаги яқин муносабатни қуйидагича умумлаштириш мумкин бўлади: Р / И да аниқланган ҳалқа гомоморфизмлари И да йўқолиб кетадиган (яъни нолга тенг бўладиган) Р да аниқланган ҳалқа гомоморфизмлари билан моҳиятан бир хилдир бўлади. Аниқроқ айтганда, Р да икки томонлама идеал И ва ҳалқали омоморфизм ф : Р → С берилган бўлиб ф : Р → С ядросида И бўлса, аниқ битта ҳалқали гомоморфизми г : Р / И → С мавжуддир.г : Р / И → С гп = ф билан (бу ерда п – табиий кўрсаткичлар харитаси). Бу ерда г харитаси Р даги барча а учун аниқ белгиланган г([а]) = ф(а) қоидаси билан берилган. Ҳақиқатан ҳам, бу универсал хусусиятдан бўлиниш ҳалқалари ва уларнинг табиий бўлим хариталарини аниқлаш учун фойдаланиш мумкин бўлади.

Юқорида айтилганларнинг натижаси бўлароқ, асосий баёнот олинади ва ҳар бир ҳалқа гомоморфизми ф : Р → С қисм ҳалқаси Р / кер(ф) ва тасвир им(ф) ўртасида ҳалқа изоморфизмини келтириб чиқариши мумкин. (Шунингдек қаранг: гомоморфизмлар ҳақидаги асосий теорема .)

Р ва Р / И идеаллари бир-бири билан чамбарчас боғлиқ ҳисобланади ва табиий коэффициэнтлар харитаси И ни ўз ичига олган Р нинг икки томонлама идеаллари ва Р / И нинг икки томонлама идеаллари ўртасидаги фарқни таъминлайди (чап ва ўнг учун ҳам худди шундай идеаллар мавжуд). Икки томонлама идеал ўртасидаги бу муносабат мос келадиган бўлаадиқисм ҳалқалари орасидаги муносабатга тааллуқлидир ҳисобланади: агар М Р даги икки томонлама идеал бўлса, И ни ўз ичига олади ва биз қуйидаги Р / И да мос келадиган идеал учун М / И ёзамиз (яъни. М / И = п(М)), қисм ҳалқалари Р / М ва (Р / И) / (М / И) табиий равишда (яхши белгиланган ҳисобланади!) а + М ↦ (а + И) + М / И хариталаш орқали изоморфдир бўлади. а + М ↦ (а + И) + М / И

Қуйидаги фактлар коммутатив алгебра ва алгебраик геометрияда фойдалидир коммутатив учун Р / И майдон, агар И максимал идеал бўлса, Р / И эса интеграл соҳадир бўлади, агар И бўлса асосий идеал бўлади. Бир қатор шунга ўхшаш баёнотлар идеал И нинг хоссалари Р / И ҳалқасининг хусусиятлари билан боғлиқ ҳисобланади.

Хитой қолдиқлари теоремаси шуни кўрсатадики, агар идеал И жуфтлик кўпайтма идеалларнинг бирор бир кесишиши (ёки эквиваленти, маҳсулоти) бўлса, И ₁, . . ., И _к, кейин Р / И қисм ҳалқаси ҳам Р / И_н, н = 1, ..., к кўпайтмасига изоморф ҳисобланади бўлади.

Ҳалқа устидаги алгебралар учун қоидалар

Коммутатив ҳалқа устидаги ассоциатив алгебра А Р – бу узук ҳисобланади. Агар мен идеал бўлсам А (Р -кўпайтириш остида ёпиқ бўлади), кейин А / И алгебра тузилишини қабул қилиб олади. Р ва қисм алгебраси .

Шунингдек

• Боғланган даражали узук
• Қолдиқ майдони
• Голдиэ теоремаси
• Қуотиэнт модули

Қўшимча ҳаволалар

• Ф. Касч (1978) Модулн унд Ринге, ДАР Wаллаcе (1982) томонидан таржима қилинган Модуллар ва узуклар, Академик матбуот, 33-бет.
• Неал Ҳ. МcCой (1948) Рингс ва идеаллар, § 13 Қолдиқ синфи ҳалқалари, 61-бет, Cарус Математик Монографиялари № 8, Америка Математик Ассоциацияси .
• 0-387-98541-7
• БЛ ван дер Wаэрден (1970) Алгебра, Фред Блум ва Жон Р Счуленбергер томонидан таржима қилинган, Фредерик Унгар нашриёти, Ню-Ёрк. 3.5-бобга қаранг, „Идеаллар. Қолдиқ синфи ҳалқалари“, 47-51-бетлар.

Ҳаволалар

• Идеалс анд фаcтор рингс (Wайбаcк Мачине сайтида 2020-06-30 санасида архивланган) фром Жоҳн Беачй’с Абстраcт Алгебра Онлине