Leonardo raqami

Leonardo raqamlari takrorlanish orqali berilgan raqamlar ketma-ketligi hisoblanadi:

$L(n) = \begin{cases} 1 & \mbox{uchun } n = 0 \\ 1 & \mbox{uchun } n = 1 \\ L(n - 1) + L(n - 2) + 1 & \mbox{uchun } n > 1 \\ \end{cases}$

Edsger W. Dijkstra ularni silliq tartiblash algoritmining ajralmas qismi sifatida ishlatgan va shuningdek, ularni batafsil tahlil qilganlar.

Leonardo tubi Leonardo soni boʻlib, u ham tub son hisoblanadi.

Qiymatlari

Birinchi bir nechta Leonardo raqamlari quyidagilar:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167,…

Leonardoning birinchi bir necha asosiy sonlari:

3, 5, 41, 67, 109, 1973, 5167, 2692537, 11405773, 126491971, 331160281, 535828591, 279167724889, 145446920496281, 28944668049352441, 5760134388741632239, 63880869269980199809, 167242286979696845953, 597222253637954133837103, …

Modul sikllari

Leonardo raqamlari har qanday modulda n≥2 sikl hosil qiladi. Uni koʻrishning oson yoʻli quyidagilar:

• Agar juftlik moduli n ketma-ketlikda ikki marta paydo boʻlsa, unda sikl mavjud.
• Agar oldingi bayonotdan foydalanib, asosiy bayonotni notoʻgʻri deb hisoblasak, bu 0 va n-1 oʻrtasida cheksiz aniq juft raqamlar mavjudligini bildiradi, chunki bu notoʻgʻri, chunki n² juftlik mavjud boʻladi.

n≤8 uchun sikllar:

Modul	Davr	Uzunlik
2	1	1
3	1,1,0,2,0,0,1,2	8
4	1,1,3	3
5	1,1,3,0,4,0,0,1,2,4,2,2,0,3,4,3,3,2,1,4	20
6	1,1,3,5,3,3,1,5	8
7	1,1,3,5,2,1,4,6,4,4,2,0,3,4,1,6	16
8	1,1,3,5,1,7	6

Davr har doim (1,n-1) juftlikda tugaydi, chunki bu juftlikdan (1,1) oldin kelishi mumkin boʻlgan yagona juftlik boʻladi.

Ifodalar

• Quyidagi tenglama qoʻllanadi:

$L(n)=2L(n-1)-L(n-3)$ Isbot$L(n)=L(n-1)+L(n-2)+1= L(n-1)+L(n-2)+1+L(n-3)-L(n-3)= 2L(n-1)-L(n-3)$

Fibonachchi raqamlariga munosabat

Leonardo raqamlari Fibonachchi raqamlari bilan quyidagi munosabatlarga bogʻliq $L(n) = 2 F(n+1) - 1, n \ge 0$ .

Bu munosabatdan Leonardo raqamlari uchun Binetning Fibonachchi raqamlari formulasiga oʻxshash yopiq shakldagi ifodani olish juda oson:

$L(n) = 2 \frac{\varphi^{n+1} - \psi^{n+1}}{\varphi - \psi}- 1 = \frac{2}{\sqrt 5} \left(\varphi^{n+1} - \psi^{n+1}\right) - 1 = 2F(n+1) - 1$

bu yerda oltin nisbat $\varphi = \left(1 + \sqrt 5\right)/2$ va $\psi = \left(1 - \sqrt 5\right)/2$ kvadrat polinomning ildizlari $x^2 - x - 1 = 0$ shunga teng .

Manbalar

Havolalar

• OEIS sequence A001595