Ziyosfera

Tenglama

Тенглама — икки ёки ундан ошиқ ифодаларнинг ўзаро боғланганини кўрсатувчи математик тенглик. Тенгламалардан математиканинг барча назарий ва амалий соҳаларида ҳамда физика, биология ва бошқа ижтимоий фанларда фойдаланилади.[1]

Тенглик белгисининг биринчи марта ишлатилгани (14х+15=71). Роберт Реcорденинг „Wитте Чақмоқтоши“ („Тҳе Wҳецтоне оф Wитте“) китобидан (1557).

Тенгламада бир ёки ундан кўп номаълум қиймат бўлади ва улар ўзгарувчилар ёки номаълумлар деб аталади. Номаълумлар одатда ҳарфлар ёки бошқа белгилар билан ифодаланади.

Тенгламалар улардаги ўзгарувчилар сонига қараб номланади. Масалан, бир ўзгарувчили тенглама, икки ўзгарувчили тенглама ва ҳоказо.

Тенгламада ифодалар одатда тенглик белгисининг (=) икки томонига ёзилади. Масалан, х + 3 = 5 тенгламаси х+3 ифодаси 5 га тенг эканлигини таъкидлайди. Тенглик белгисини (=) уэлслик математик Роберт Реcорде ўйлаб топган.[2] У икки бир хил узунликдаги параллел тўғри чизиқлардан тенгроқ нарса бўлмайди деб ҳисоблаган.

Тарихи

Диофантнинг „Арифметика“ китобининг 1621-йилги нашри муқоваси. Лотин тилига Cлауде Гаспард Бачет де Мéзириаc таржима қилган. Диофант тенгламаларни ўрганган энг эски математиклардан биридир

Тенгламаларнинг илк ечимлари эрамиздан 2000-йилча олдин ҳинд папирусида ёзилган. Берилган масалалар арифметик масалалар бўлган. Масалан, „масса ва унинг 1/7 нинг йиғиндиси 19 га тенг“ каби масалалар учун тенгламалар ёзилган. Бундай масала учун номаълумни х деб белгилаб, х+1/7х каби содда тенглама ёзилган. Арифметик масалалардан кейин икки номаълум қийматли тенгламалар юзага келган. Юнонлар қўшалоқ чизиқли тенгламаларни билишган. Архимеднинг „чорва масаласи“ каби системаларда берилган ноаниқ тенгламалар Диофант бир неча шунақа тенгламани ишлаб кўрсатиб бермагунича жиддий ўрганилмаган.

Квадрат тенгламалар юнонлар пропорсияларни ўрганаётганида юзага келган. Улар квадрат тенгламаларни геометрик усулда ечишган. Аммо бу геометрик усулнинг ҳозирги умумлаштирилган алгебраик геометрияга алоқаси йўқ. Алгебраик геометрияда графиклар билан тенгламаларни ёки аксинча, тенгламаларни графиклар билан ифодалаш мумкин. Содда квадрат тенглама икки а ва б чизиқлари орасидаги ўртача пропорсионал х ни аниқлашда ёки берилган тўртбурчакка тенг квадратни топишда келиб чиққан. Ишлатилган пропорсия а:х = х:б кўринишида бўлган. Бу ифода бўлса х² = аб га тенгдир. х²+ах-а² кўринишидаги умумийроқ тенглама берилган бирон-бир чизиқ медианасини топиш керак бўлган масаланинг алгебраик эквивалентидир. Диофантга квадрат тенгламанинг алгебраик ечими маълум бўлган деб айтилади. Аммо у фақат битта илдизни пайқаган.

Ренé Десcартес тенгламаларни график фигуралар ўлароқ ифодалашни кўрсатиб берган.

Содда куб тенглама бири иккинчисидан икки марта узун бўлган икки чизиқ ўртасида х ва й ўртача пропорсионалларни топиш керак бўлган масалада берилган. Буни а:х=х:й=й:2а кўринишида ифодалаш мумкин. Бу ифодадан х² = ай ва хй = 2а² келиб чиқади. й ни йўқ қилсак х³ = 2а³ содда куб тенглама ҳосил бўлади. Юнонлар бу тенгламани еча олишмаган. Бу тенглама яна кубнинг дубликатини ясашда ва бурчакни чизғич ёки сиркул билан тенг учга бўлишда ҳам юзга келган. Бурчак бўлиш учун сиссоида, конхоида ва квадратриса каби механик эгри чизиқлардан фойдаланишган. Бундай ечимларни араблар такомиллаштирган. Улар куб ва биквадрат тенгламаларни конус кесимлари билан ечишган. Диофант бошлаган ва ҳиндлар такомиллаштирган тенгламаларнинг тахминий илдизларини алгебраик йўлларда ечиш усулларини араблар янада олдинга суришган. Куб ва биквадрат тенгламаларнинг алгебраик ечимлари ХВИ асрда С. Ферро, Н. Тартаглиа, Ҳ. Cардан ва Л. Феррари томонидан ишлаб чиқилган.

Бешинчи даражали тенгламаларни ечишга кўп уринилган. П. Руффини ва Н. Ҳ. Абел бунинг иложи йўқлигини исботлашган. C. Ҳермите ва Л. Кронеcкер эллиптик функсиялардан иборат ечимини кўрсатган. Ф. Клеин ҳам бу тенгламаларни ечишнинг яна бир бошқа йўлини таклиф қилган.

Тенгламаларга геометрик ёндашишда юнонлар ва араблар баъзи бир эгри чизиқлар ва фигураларнинг хоссаларидан келиб чиқиб хулосалар қилишган. Пропорсиялардан фойдаланиб хусусий ҳоллар учун ечим топилган, аммо умумий ҳол учун қониқарли жавоб бўлмаган. Бу муаммони ХВИИ асрда Ренé Десcартес бартараф қилган. У тенгламаларнинг график ечимларини тушунтирувчи умумий теоремани ишлаб чиққан. Хусусан, Десcартес коник кесимлар ишлатилган ҳолларни кўрсатиб берган. Бундан ташқари, Десcартес ҳар бир тенглама геометрик нуқталар жойлашишига эгалигини ва ҳар бир геометрик нуқталар жойлашиши тенгламага эгалигини кўрсатган. Икки х ва й номаълумли тенгламаларни ифодалаш учун Десcартес бир-бирга перпендикуляр икки ўқни олган. х ни горизонтал ўқ бўйлаб ва й ни вертикал ўқ бўйлаб ўлчаган. Кейин у чизиқли тенглама тўғри чизиқни ифодалашини ва квадрат тенглама коник чизиқни ифодалашини кўрсатиб берган.

Таққослашлар

Содда тенглама тасвири. х, й, з ҳақиқий сонлардир ва бу ерда улар тошларга таққосланган.

Тенглама кўпинча тарозига таққосланади. Яна мувозанат, иннана ёки бошқа шунга ўхшаш жисмлар ҳам тенгламага ўхшатилади.

Мувозанатнинг ҳар икки томони тенгламанинг икки томонига тўғри келади. Икки томонда турли қийматлар қўйилиши мумкин. Агар шу жисмлар тенг бўлса мувозанат тенгламага мос келади. Агар жисмлар тенг бўлмаса унда бу ҳол тенгсизликка о'хшатилади.

Ўнгдаги тасвирда х, й ва з ҳар хил қийматлар бо'либ (бу ерда улар ҳақиқий сонлардир), бу қийматлар айлана шаклидаги оғирликлар қилиб тасвирланган. Қўшиш амали вазн қўшишга, айириш бўлса тарози паллаларидан юк олишга мос тушади. Икки томондаги умумий вазн бир хилдир.

Тенгламаларни ечиш

х=ф(х){\дисплайстйле х = ф(х)} тенгламасининг илдизларини график усулда топиш

Тенгламани ечиш — бу унинг барча илдизларини топиш ёки уларнинг йўқлигини (мавжуд эмаслигини) исбот қилишдир. Баъзан илдизларга қўшимча чеклашлар қўйилади. Масалан, тенглама илдизлар фақат бутун сонлар бўлиши талаб қилиниши мумкин.

Функсия аргументи (баъзан „ўзгарувчи“ деб аталади) тенгламаларда номаълум миқдор деб аталади.

Ўзгарувчили

ф(х)=г(х){\дисплайстйле ф(х)=г(х)\,}

тенглик бир х ўзгарувчили тенглама деб аталади. Ўзгарувчининг ф(х) ва г(х) ифодалар бир хил сон қийматлар қабул қиладиган ҳар қандай қиймати тенгламанинг илдизи ёки ечими дейилади.

Тенгламаларнинг тенг кучлилиги

Бир хил илдизларга эга тенгламалар тенг кучли тенгламалар дейилади. Илдизга эга бўлмаган ҳар бир тенглама ҳам тенг кучли ҳисобланади. Тенгламани ечиш жараёнида уни соддароқ, лекин берилган тенгламага тенг кучли бўлган тенглама билан алмаштиришга ҳаракат қилинади. Шунинг учун ҳар қандай шакл алмаштиришларда берилган тенглама унга тенг кучли тенгламага ўтишини билиш муҳимдир.

Теорема: Агар тенгламада бирорта қўшилувчини тенгламанинг бир томонидан иккинчи томонига ишорасини ўзгартириб ўтказилса, берилган тенгламага тенг кучли тенглама ҳосил бўлади.

Масалан,

х2+2=3х{\дисплайстйле х^2+2=3х \,}

тенглама

х2+2−3х=0{\дисплайстйле х^2+2-3х=0 \,}

га тенг кучлидир.

Теорема: Агар тенгламанинг ҳар иккала томонини нолдан фарқли бир сонга кўпайтирилса ёки бўлинса, берилган тенгламага тенг кучли тенглама ҳосил бўлади.

Масалан,

х2+13=2х{\дисплайстйле \фраc{х^2+1}{3} \ =2х}

тенглама

х2+1=6х{\дисплайстйле х^2+1=6х \,}

тенгламага тенг кучли (биринчи тенгламанинг ҳар иккала томонини 3 га кўпайтирилди).

Тенгламаларнинг асосий хоссалари

Тенглама таркибидаги алгебраик ифодалар устида турли амаллар бажариш мумкин. Бунда тенгламанинг илдизлари ўзгармайди. Кенг тарқалган амаллар қуйидагилардир:

  1. Тенгламанинг ҳар икки томонига айнан бир хил ҳақиқий сонни қўшиш мумкин.
  2. Тенгламанинг ҳар икки томонидан айнан бир хил ҳақиқий сонни айириш мумкин.
  3. Тенгламанинг ҳар икки томонини 0 дан бошқа ҳар қандай ҳақиқий сонга бўлиш мумкин.
  4. Тенгламанинг ҳар икки томонини ҳар қандай ҳақиқий сонга кўпайтириш мумкин.
  5. Тенгламанинг истаган томонида қавсларни очиш мумкин.
  6. Тенгламанинг истаган қисмида ўхшаш қўшилувчиларни келтириш мумкин.
  7. Тенгламанинг истаган аъзосини бир қисмдан иккинчи қисмга қарама-қарши белги билан олиб ўтиш мумкин.
  8. Ба'зи ҳолларда ҳар икки томонга айрим бир функсияларни қўшиш мумкин. Бундай амал бажараётганда тенглама илдизлари йўқотилмаслигига э'тибор бериш керак. Масалан, йх=х{\дисплайстйле йх=х} тенгламасида икки гуруҳ ечим бор: й=1{\дисплайстйле й=1} (ҳар қандай х билан) ва х=0{\дисплайстйле х=0} (ҳар қандай й билан). Иккала томонни иккинчи даражага кўтариш (яъни, икки томонга ф(с)=с2{\дисплайстйле ф(с)=с^2} функсиясини киритиш) берилган тенгламани (хй)2=х2{\дисплайстйле (хй)^2=х^2} қилиб ўзгартиради. Бу янги тенгламада эски тенгламанинг барча илдизлари билан бирга янги илдизлар ҳам бор: й=−1{\дисплайстйле й=-1} ва х ҳар қанақа сон.

Тенглама турлари

Тенгламаларнинг жуда ҳам тури кўп. Қуйида энг муҳим турлари ҳақида қисқача тўхталиб ўтилган:

Чизиқли тенгламалар

Асосий мақола: Чизиқли тенглама
Чизиқли тенглама графиги

Чизиқли тенглама бу иккала томони ҳам биринчи даражали (номаълум) кўпҳадлардан иборат тенгламадир. Чизиқли тенгламани қуйидаги кўринишда ифодалаш мумкин: ах + б = 0, бу ерда а — нол бўлмаган сон, б — озод ҳад.

Квадрат тенгламалар

Асосий мақола: Квадрат тенглама

Квадрат тенглама кўп ҳадли, бир ўзгарувчили ва иккинчи даражали тенгламадир. Умумий кўриниши одатда қуйидагича ифодаланади:

ах2+бх+c=0.{\дисплайстйле ах^2+бх+c=0.\,}

Бу ерда а, б, c — ҳақиқий сонлар ва а≠0. Агар а=1 бўлса, квадрат тенглама келтирилган тенглама, агар а≠1 бўлса, келтирилмаган тенглама дейилади. а, б, c сонлари қуйидагича аталади:

  • а — биринчи (бош) коэффициент;
  • б — иккинчи коэффициент;
  • c — озод ҳад.

Квадрат тенглама илдизлари қуйидаги формула бўйича топилади:

х=−б±б2−4аc2а.{\дисплайстйле х=\фраc{-б \пм \сқрт {б^2-4аc}}{2а}.}

Рационал тенгламалар

Асосий мақола: Рационал тенглама

Рационал тенглама деб рационал ифодалардан тузилган тенгламага айтилади. Агар ф(х) ва г(х) рационал ифодалар бўлса,

ф(х)=г(х){\дисплайстйле ф(х)=г(х)}

тенглама рационал тенглама дейилади. Бунда агар ф(х) ва г(х) бутун ифодалар бўлса, тенглама бутун тенглама дейилади. Агар ф(х), г(х) ифодалардан ҳеч бўлмаганда бири каср ифода бўлса, ф(х)=г(х) рационал тенглама ёки каср тенглама дейилади. Чизиқли, квадрат тенгламалар бутун тенгламалардир.

Биквадрат тенгламалар

Асосий мақола: Биквадрат тенглама

Биквадрат тенглама деб тўртинчи даражали тенгламага айтилади. Умумий кўриниши қуйидагича ифодаланади:

ах4+бх2+c=0.{\дисплайстйле ах^4+бх^2+c=0.}

Бу ерда а≠0.

Иррационал тенгламалар

Асосий мақола: Иррационал тенглама

Иррационал тенглама деб таркибида илдиз белгиси остида ўзгарувчи бўлган тенгламага айтилади. Иррационал тенгламаларни ечишнинг иккита усули кенг тарқалган. Булар тенгламанинг иккала томонини бир хил даражага кўтариш ва янги ўзгарувчилар киритиш усулларидир.

Кўрсаткичли тенгламалар

Асосий мақола: Кўрсаткичли тенглама

Кўрсаткичли тенглама ёки даражали тенглама математик даражаси кўпҳаддан иборат тенгламадир. Кўрсаткичли тенгламани одатда

аф(х)=аг(х){\дисплайстйле а^{ф(х)}=а^{г(х)}}

(бу ерда а>0, а≠1) кўринишга келтириш мумкин.

Логарифмик тенгламалар

Асосий мақола: Логарифмик тенглама

Логарифмик тенглама деб таркибида логарифмлар бўлган тенгламага айтилади. Логарифмик тенглама одатда

лог⁡аф(х)=лог⁡аг(х){\дисплайстйле \лог_а{ф(х)} = \лог_а{г(х)} \,}

(Бу ерда а >0, а≠1) кўринишга келтирилади.

Параметрли тенгламалар

Асосий мақола: Параметрли тенглама

Параметрли тенглама деб бирон-бир боғланишни параметрлар ёрдамида ифодалаган тенгламага айтилади. Параметрли тенгламага содда мисол сифатида кинематикадан вақт параметри билан ҳаракатдаги жисмнинг жойини, тезланишини ва бошқа хусусиятларини ифодаловчи тенгламани келтириш мумкин. Абстракт маънода параметрли тенглама деб тенгламалар тўпламини айтиш мумкин.

Дифференсиал тенгламалар

Асосий мақола: Дифференсиал тенглама

Дифференсиал тенглама номаълум функсиялар, уларнинг турли тартибли ҳосилалари ва эркли ўзгарувчилар иштирок этган тенгламалардир. Бу тенгламаларда номаълум функсия и орқали белгиланган бўлиб, биринчи иккитасида и битта эркли ўзгарувчи т га, кейингиларида эса мос равишда х, т ва х, й, з эркли ўзгарувчиларга боғлиқдир.

Интеграл тенгламалар

Асосий мақола: Интеграл тенглама

Интеграл тенглама номаълум функсия интеграл белгиси остида бўлган тенгламадир. Интеграл тенгламалар билан дифференсиал тенгламалар чамбарчас боғланган бўлиб, кўп ҳолларда уларни бир-бири билан алмаштириш мумкин.

Манбалар

  1. ↑ Берггрен, Ж. Леннарт, анд Сингер, Жамес. "Эқуатион." Миcрософт® Студент 2009 [ДВД]. Редмонд, WА: Миcрософт Cорпоратион, 2008.
  2. ↑ Чишолм, Ҳугҳ, эд. (1911). "Эқуатион". Энcйcлопæдиа Британниcа (11тҳ эдитион). Cамбридге Университй Пресс.

Ҳаволалар

"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Tenglama" dan olindi