Uchburchaklar yechimlari

Учбурчаклар ечими (лотинча: солутио триангулорум) учбурчакнинг характеристикаларини (томонларининг бурчаклари ва узунликлари) топиш тригонометриянинг асоаий муаммоси бўлиб, улардан баъзилари номаълум. Учбурчаклар текисликда ёки шарда жойлашган бўлиши мумкин. Учбурчак ечимларини талаб қиладиган йўналишлар геодезия, астрономия, қурилиш ва навигацияни ўз ичига олади.

Текисликдаги учбурчакларини ечиш

Умумий шаклдаги учбурчак олтита асосий хусусиятга эга (расмга қаранг): учта ён узунликлари (ён узунликлари $а, б, c$ ) ва учта бурчаклари ( $α, β, γ$ ). Классик текислик тригонометрияси муаммоси олтита хусусиятдан учтасини белгилаш ва қолган учтасини аниқлашдир. Қуйидагилардан бири берилганда учбурчак шу усулда аниқланиши мумкин^[1]^[2]:

Уч томон (ССС)
Икки томон ва киритилган бурчак (САС)
Икки томон ва улар орасидаги бурчак (ССА), агар бурчакка ёпишган томон узунлиги бошқа томон узунлигидан қисқароқ бўлса.
Ён ва унга ёпишган икки бурчак (АСА)
Бир томон, унга қарама-қарши бурчак ва унга қўшни бўлган бурчак (ААС).

Учбурдаги барча ҳолатлар учун камида битта томон узунлиги кўрсатилиши керак. Агар фақат бурчаклар берилган бўлса ҳам, томонларнинг узунликларини аниқлаб бўлмайди, чунки ҳар қандай ўхшаш учбурчак ечимли ҳисобланади.

Тригономик муносабатлар

Муаммони ҳал қилишнинг стандарт усули — фундаментал муносабатлардан фойдаланиш усулидир.

Косинуслар қонуни: ${\дисплайстйле а^2 = б^2 + c^2 - 2 б c \cос \алпҳа}$; ${\дисплайстйле б^2 = а^2 + c^2 - 2 а c \cос \бета}$; ${\дисплайстйле c^2 = а^2 + б^2 - 2 а б \cос \гамма}$
Синуслар қонуни: ${\дисплайстйле \фраc{а}{\син\алпҳа} = \фраc{б}{\син\бета} = \фраc{c}{\син\гамма}}$
Бурчаклар йиғиндиси: ${\дисплайстйле \алпҳа + \бета + \гамма = 180^\cирc}$
Тангенслар қонуни: ${\дисплайстйле \фраc{а-б}{а+б} = \фраc{\тан[\фраc{1}{2}(\алпҳа-\бета)]}{\тан[\фраc 1 2 (\алпҳа+\бета)]}.}$

Бошқа (баъзан амалий жиҳатдан ҳа жуда фойдали) универсал муносабатлар мавжуд: котангентлар қонуни ва Молвейд формуласи .

Эслатма

Тоғнинг баландлигини қандай ўлчаш мумкин

Номаълум бурчакни топиш учун косинуслар қонун ва синуслар қонунидан фойдаланиш қулайроқ. Бунинг сабаби шундаки, учбурчакнинг бурчаги учун синуснинг қиймати бу бурчакни ягона қийматини аниқламайди. Мисол учун, агар $син β = 0.5$ бўлса, $β$ бурчак 30 ° ёки 150 ° га тенг бўлиши мумкин. Косинуслар қонунидан фойдаланиш бу муаммонинг олдини олади: 0 ° дан 180 ° гача бўлган оралиқда косинус қиймати унинг бурчагини аниқ белгилайди. Бошқа томондан, агар бурчак кичик (ёки 180 ° га яқин) бўлса, уни косинусдан кўра синусдан аниқлаш ишончлироқ бўлади, чунки ёй-косинус функцияси 1 (ёки −1) да турлича ҳосилага эга бўлади.
Белгиланган хусусиятларнинг нисбий позицияси маълум деб фараз қиламиз. Агар шундай бўлмаса, учбурчакнинг кўзгудаги акси ҳам ечим бўлади. Мисол учун, уч томоннинг узунлиги учбурчакни ёки унинг аксини аниқ белгилайди.

Учта томон берилган (ССС)

Уч томон узунлиги $а, б, c$ кўрсатилсин. $α, β$ бурчакларни топиш учун косинуслар қонунидан фойдаланиш мумкин бўлади^[3]:

{\дисплайстйле \бегин{алигн} \алпҳа & = \арccос \фраc{б^2 + c^2 - а^2} {2 б c} \\[4пт] \бета & = \арccос \фраc{а^2 + c^2 - б^2} {2 а c}. \энд{алигн}}

Кейинги бурчак: $γ = 180° - α - β$ .

Баъзи манбалар синуслар қонунидан $β$ бурчакни топишни тавсия қилади, лекин (юқоридаги 1-изоҳда айтилганидек) ўткир бурчак қийматини ўтмас бурчак қиймати билан чалкаштириб юбориш хавфи мавжуд.

Маълум томонлардан бурчакларни ҳисоблашнинг яна бир усули котангенслар қонунини қўллашдир усулидир.

Икки томон ва улар орасидаги бурчак (САС)

Бу ерда $а, б$ томонларнинг узунликлари ва бу томонлар орасидаги $γ$ бурчак маълум. Учинчи томонни косинуслар қонунидан аниқлаш мумкин бўлади^[4]:

{\дисплайстйле c = \сқрт{а^2+б^2-2аб\cос\гамма}.}

Энди иккинчи бурчакни топиш учун ҳам косинуслар қонунидан фойдалансак бўлади:

{\дисплайстйле \алпҳа = \арccос \фраc{б^2 + c^2 - а^2} {2 б c}.}

Ниҳоят, $β = 180° - α - γ$ .

Икки томон ва улар орасида бўмаган бурчак берилган (ССА)

Бу иш ҳамма ҳолларда ҳам тўғри бўлмайди; Агар бурчакка улашган томон узунлиги бошқа томон узунлигидан қисқароқ бўлса, ечим ягона бўлади. Фараз қилайлик, икки томон $б, c$ ва $β$ бурчак маълум. $γ$ бурчак учун тенглама синуслар қонунидан назарда тутилиши мумкин^[5]:

{\дисплайстйле \син\гамма = \фраc c б \син\бета.}

Кейинги $Д = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}c/б син β$ ни белгилаймиз( $Д =$ тенгламанинг ўнг томони). Тўртта ҳолат бўлиши мумкин:

Агар $Д > 1$ бўлса, бундай учбурчак мавжуд бўлмайди, чунки $б$ томони $БC$ чизиғига етиб бормайди. Худди шу сабабга кўра, агар бурчак $β \geq 90°$ ва $б \leq c$ бўлса ҳам ечим мавжуд бўлмайди.
Агар $Д = 1$ бўлса, ягона ечим мавжуд: $γ = 90°$ , яъни тўғри бурчакли учбурчак бўлади.
Агар $Д < 1$ бўлса, иккита вариант мумкин.
1. Агар $б \geq c$ бўлса, у ҳолда $β \geq γ$ (катта томон катта бурчак қаршисида бўлади). Ҳеч бир учбурчакда иккита ўтмас бурчак бўлиши мумкин эмаслиги сабабли, $γ$ ўткир бурчак ва ечим $γ = арcсин Д$ ягона ечим ҳисобланади.
2. Агар $б < c$ бўлса, $γ$ бурчак ўткир бўлиши мумкин: $γ = арcсин Д$ ёки ўтмас: $γ' = 180° - γ$ . Ўнгдаги расмда биринчи ечим сифатида $C$ нуқта, $б$ томон ва $γ$ бурчак, иккинчи ечим сифатида эса $C'$ нуқта, $б'$ томон ва $γ'$ бурчак кўрсатилган, учинчи бурчак $α = 180° - β - γ$ га тенг .

Учинчи томонни синуслар қонунидан топиш мумкин бўлади:

${\дисплайстйле а = б\ \фраc{\син\алпҳа}{\син\бета}}$

ёки косинуслар қонунидан ҳам топса бўлади:

${\дисплайстйле а = c\cос\бета \пм \сқрт{б^2 -c^2\син^2\бета}}$

Бирта томон ва иккита қўшни бурчак берилган (АСА)

Маълум учбурчакнинг $c$ томони ва $α, β$ бурчаклари берилган. Учинчи бурчак эса $γ = 180° - α - β$ тенг бўлади.

Синуслар қонунидан иккита номаълум томонни топиш мумкин^[6]:

{\дисплайстйле а = c\ \фраc{\син\алпҳа}{\син\гамма}; \қуад б = c\ \фраc{\син\бета}{\син\гамма}.}

ёки

{\дисплайстйле а = c \фраc{\син\алпҳа}{\син\алпҳа \cос \бета +\син\бета \cос \алпҳа}}

{\дисплайстйле б = c \фраc{\син\бета}{\син\алпҳа \cос \бета +\син\бета \cос \алпҳа}}

Битта томон, битта қўшни бурчак ва қарама-қарши бурчак берилган (ААС)

ААС учбурчагини ечиш тартиби АСА учбурчаги билан бир хил: Биринчидан, учбурчакнинг бурчак йиғиндиси хусусиятидан фойдаланиб учинчи бурчакни топилади, сўнгра синуслар қонунидан фойдаланиб қолган икки томони ҳам топилади.

Бошқа берилган узунликлар

Кўп ҳолларда учбурчаклар учта маълумотни ҳисобга олган ҳолда эчилиши мумкин, улардан баъзилари учбурчакнинг медианалари, баландликлари ёки бурчак биссектрисаларининг узунлиги билан ҳисобланади. Посаментиэр ва Леманн^[7] 95 та алоҳида ҳолатларнинг ҳар бири учун квадрат илдизлардан юқори бўлмаган (яъни, конструктивлик) ёрдамида ечиш қобилиятига оид саволнинг ечимларини санаб ўтадилар; Улардан 63 тасидан учбурчак ясаш мумкин.

Сферик учбурчакларни ечиш

Икки томон ва киритилмаган бурчак берилган. Умумий сферик учбурчакнинг олтита хусусиятидан учтаси (3 та томон ва 3 та бурчак) билан тўлиқ аниқланади. Сферик учбурчакнинг $а, б, c$ томонлари узунлиги уларнинг марказий бурчаклари бўлиб, чизиқли бирликларга эга эмас, балки бурчаклари бирликларда ўлчанади. (Бирлик шарда бурчак (радианларда) ва шар атрофидаги узунлик сон жиҳатдан бир хил бўлади. Бошқа соҳаларда бурчак (радианларда) радиусга бўлинган шар атрофидаги узунликка тенг.)

Сферик геометрия планар Эвклид геометриясидан фарқ қилади, шунинг учун сферик учбурчаклар ечими турли қоидаларга асосланади. Масалан, $α + β + γ$ учта бурчакнинг йиғиндиси учбурчакнинг катталигига боғлиқ бўлади. Бундан ташқари, ўхшаш учбурчаклар тенг бўлиши мумкин эмас, шунинг учун белгиланган учта бурчакли учбурчакни қуриш ўзига хос ечимга эга. Муаммони ҳал қилиш учун ишлатиладиган асосий муносабатлар текислик ҳолатига ўхшайди: қаранг: Косинусларнинг сферик қонуни ва Синусларнинг сферик қонуни берилган.

Фойдали бўлиши мумкин бўлган муносабатлар орасида ярим томон формуласи ва Напиэрнинг ўхшашлиги ҳам бор^[8]:

${\дисплайстйле \тан\фраc c 2 \cос\фраc{\алпҳа-\бета} 2 = \тан\фраc{а+б}{2} \cос\фраc{\алпҳа+\бета}{2}}$
${\дисплайстйле \тан\фраc c 2 \син\фраc{\алпҳа-\бета} 2 = \тан\фраc{а-б} 2 \син\фраc{\алпҳа+\бета} 2}$
${\дисплайстйле \cот\фраc{\гамма} 2 \cос\фраc{а-б}{2} = \тан\фраc{\алпҳа+\бета} 2 \cос\фраc{а+б} 2}$
${\дисплайстйле \cот\фраc{\гамма} 2 \син\фраc{а-б}{2} = \тан\фраc{\алпҳа-\бета} 2 \син\фраc{а+б} 2.}$

Уч томон берилган (сферик ССС)

Маълум: томонлар $а, б, c$ (бурчак бирликларида). Учбурчакнинг бурчаклари косинусларнинг сферик қонуни ёрдамида ҳисоблаш мумкин:

{\дисплайстйле \алпҳа = \арccос\лефт(\фраc{\cос а-\cос б\ \cос c}{\син б\ \син c}\ригҳт),}

{\дисплайстйле \бета = \арccос\лефт(\фраc{\cос б-\cос c\ \cос а}{\син c\ \син а}\ригҳт),}

{\дисплайстйле \гамма = \арccос\лефт(\фраc{\cос c-\cос а\ \cос б}{\син а\ \син б}\ригҳт).}

Икки томон ва бурчак берилган (сферик САС)

Бизга маълум: $а, б$ томонлари ва улар орасидаги $γ$ бурчак. $c$ томонини косинусларнинг сферик қонунидан топишимиз мумкин:

{\дисплайстйле c = \арccос \лефт(\cос а\cос б + \син а\син б\cос\гамма \ригҳт).}

$α, β$ бурчакларни юқоридаги каби ёки Напиэр аналогиялари ёрдамида ҳисоблаш мумкин:

{\дисплайстйле \алпҳа = \арcтан\ \фраc{2\син а}{\тан(\фраc{\гамма}{2}) \син (б+а) + \cот(\фраc{\гамма}{2})\син(б-а)},}

{\дисплайстйле \бета = \арcтан\ \фраc{2\син б}{\тан(\фраc{\гамма}{2}) \син (а+б) + \cот(\фраc{\гамма}{2})\син(а-б)}.}

Бу муаммо ернинг кенглик ва узунликлари билан белгиланган икки нуқта орасидаги катта доирани топишнинг навигация муаммосини ҳал қилишда ёрдам беради; ушбу иловада яхлитлаш хатоларига мойил бўлмаган формулалардан фойдаланиш муҳимдир. Бунинг учун қуйидаги формулалардан (вектор алгебраси ёрдамида олиниши ҳам мумкин) фойдаланиш мумкин:

{\дисплайстйле \бегин{алигн} c &= \арcтан\фраc {\сқрт{(\син а\cос б - \cос а \син б \cос \гамма)^2 + (\син б\син\гамма)^2}} {\cос а \cос б + \син а\син б\cос\гамма},\\ \алпҳа &= \арcтан\фраc {\син а\син\гамма} {\син б\cос а - \cос б\син а\cос\гамма},\\ \бета &= \арcтан\фраc {\син б\син\гамма} {\син а\cос б - \cос а\син б\cос\гамма}, \энд{алигн}}

бу иборалардаги саноқ ва махражларнинг белгиларидан арктангенснинг квадрантини аниқлаш учун фойдаланиш мумкин.

Икки томон ва киритилмаган бурчак берилган (сферик ССА)

Бу муаммони ҳамма ҳолларда ҳам ҳал қилиб бўлмайди; Агар бурчакка ёпишган томон узунлиги бошқа томон узунлигидан қисқароқ бўлса, ечим ягона бўлади. Бизга маълум: томонлар $б, c$ ва улар орасидаги бўлмаган $β$ бурчак. Агар қуйидаги шарт бажарилса, ечим мавжуд бўлади:

{\дисплайстйле б > \арcсин (\син c\,\син\бета).}

$γ$ бурчакни синусларнинг сферик қонунидан топиш мумкин бўлади:

{\дисплайстйле \гамма = \арcсин \лефт(\фраc{\син c\,\син\бета}{\син б}\ригҳт).}

учбурчак ҳолатига келсак, агар $б < c$ бўлса, у ҳолда иккита ечим мавжуд бўлади: $γ$ ва $180° - γ$ .

Напиэр аналогияларидан фойдаланиб, биз бошқа хусусиятларни ҳам топишимиз мумкин:

{\дисплайстйле \бегин{алигн} а & = 2\арcтан \лефт[ \тан\лефт(\тфраc12(б-c)\ригҳт) \фраc{\син \лефт(\тфраc12(\бета+\гамма)\ригҳт)}{\син\лефт(\тфраc12(\бета-\гамма)\ригҳт)} \ригҳт], \\[4пт] \алпҳа & = 2\арccот \лефт[\тан\лефт(\тфраc12(\бета-\гамма)\ригҳт) \фраc{\син \лефт(\тфраc12(б+c)\ригҳт)}{\син \лефт(\тфраc12(б-c)\ригҳт)} \ригҳт]. \энд{алигн}}

Битта томон ва иккита қўшни бурчаклар берилган (сферик АСА)

Маълум: $c$ томони ва бурчаклар $α, β$ . Аввал косинусларнинг сферик қонуни ёрдамида $γ$ бурчакни топиб оламиз:

{\дисплайстйле \гамма = \арccос(\син\алпҳа\син\бета\cос c -\cос\алпҳа\cос\бета).\,}

Косинусларнинг сферик қонунидан иккита номаълум томонни топишимиз мумкин (ҳисобланган $γ$ бурчак ёрдамида) бўлади:

{\дисплайстйле а=\арccос\лефт(\фраc{\cос\алпҳа+\cос\бета\cос\гамма}{\син\бета\син\гамма}\ригҳт),}

{\дисплайстйле б=\арccос\лефт(\фраc{\cос\бета+\cос\алпҳа\cос\гамма}{\син\алпҳа\син\гамма}\ригҳт),}

ёки Напиэрнинг аналогияларидан фойдаланган ҳолда қуйидаги тенглик ҳосил бўлади:

{\дисплайстйле \бегин{алигн} а & = \арcтан\лефт[\фраc{2\син\алпҳа}{\cот(\фраc c 2) \син(\бета+\алпҳа) + \тан(\фраc c 2) \син(\бета-\алпҳа)}\ригҳт], \\[4пт] б & = \арcтан\лефт[\фраc{2\син\бета} {\cот(\фраc c 2) \син(\алпҳа+\бета) + \тан(\фраc c 2)\син(\алпҳа-\бета)}\ригҳт]. \энд{алигн}}

Бир томон, битта қўшни бурчак ва қарама-қарши бурчак берилган (сферик ААС)

Бизга маълум: $а$ томон ва бурчаклар $α, β$ . $б$ томонини синусларнинг сферик қонунидан топиш мумкин бўлади:

{\дисплайстйле б = \арcсин \лефт( \фраc{\син а\,\син \бета}{\син \алпҳа} \ригҳт).}

Агар а томон $а$ бурчак ўткир ва $α > β$ бўлса, бошқа ечим ҳам мавжуд:

{\дисплайстйле б = \пи - \арcсин \лефт( \фраc{\син а\,\син \бета}{\син \алпҳа} \ригҳт).}

Напиэр аналогияларидан фойдаланиб, биз бошқа хусусиятларни ҳам топишимиз мумкин:

{\дисплайстйле \бегин{алигн} c & = 2\арcтан \лефт[ \тан\лефт(\тфраc12(а-б)\ригҳт) \фраc{\син\лефт(\тфраc12(\алпҳа+\бета)\ригҳт)}{\син\лефт(\фраc12(\алпҳа-\бета)\ригҳт)}\ригҳт], \\[4пт] \гамма & = 2\арccот \лефт[\тан\лефт(\тфраc12(\алпҳа-\бета)\ригҳт) \фраc{\син \лефт(\тфраc12(а+б)\ригҳт)}{\син \лефт(\фраc12(а-б)\ригҳт)} \ригҳт]. \энд{алигн}}

Берилган учта бурчак (сферик ААА)

Бизга маълум: бурчаклар $α, β, γ$ . Косинусларнинг сферик қонунидан қуйидаги хулосага келамиз:

{\дисплайстйле а=\арccос\лефт(\фраc{\cос\алпҳа+\cос\бета\cос\гамма}{\син\бета\син\гамма}\ригҳт),}

{\дисплайстйле б=\арccос\лефт(\фраc{\cос\бета+\cос\гамма\cос\алпҳа}{\син\гамма\син\алпҳа}\ригҳт),}

{\дисплайстйле c=\арccос\лефт(\фраc{\cос\гамма+\cос\алпҳа\cос\бета}{\син\алпҳа\син\бета}\ригҳт).}

Тўғри бурчакли сферик учбурчакларни ечиш

Агар учбурчакнинг бурчакларидан бири (масалан, $C$ бурчаги) тўғри бурчак бўлса, юқоридаги алгоритмлар анча соддалашади. Бундай сферик учбурчак унинг иккита элементи билан тўлиқ аниқланади ва қолган учтасини Непиэрнинг Пентагони ёки қуйидаги муносабатлар ёрдамида ҳисоблаш мумкин бўлади.

{\дисплайстйле \син а = \син c \cдот \син А}

(синусларнинг сферик қонунидан)

{\дисплайстйле \тан а = \син б \cдот \тан А}

{\дисплайстйле \cос c = \cос а \cдот \cос б}

(косинусларнинг сферик қонунидан)

{\дисплайстйле \тан б = \тан c \cдот \cос А}

{\дисплайстйле \cос А = \cос а \cдот \син Б}

(косинусларнинг сферик қонунидан )

{\дисплайстйле \cос c = \cот А \cдот \cот Б}

Баъзи иловалар

Агар қирғоқдан узоқ кемагача бўлган масофани $д$ триангуляция орқали ўлчамоқчи бўлсангиз, қирғоқда улар орасидаги маълум масофа $л$ бўлган иккита нуқтани белгилаймиз (таянч чизиқ). Асосий чизиқ билан кемага йўналиш орасидаги бурчаклар $α, β$ бўлсин.

Юқоридаги формулалардан (АСА ҳолати, планар геометрияни назарда тутган ҳолда) масофани учбурчак баландлиги сифатида ҳисоблаш мумкин бўлади:

{\дисплайстйле д = \фраc{\син\алпҳа\,\син\бета}{\син(\алпҳа+\бета)} \элл = \фраc{\тан\алпҳа\,\тан\бета}{\тан\алпҳа+\тан\бета} \элл.}

Сферик ҳолат учун биринчи навбатда АСА формуласи орқали $α$ нуқтадан кемагача бўлган томоннинг узунлигини (яъни $β$ га қарама-қарши томон) ҳисоблаш мумкин бўлади.

{\дисплайстйле \тан б =\фраc{2\син\бета}{\cот(л/2)\син(\алпҳа+\бета)+\тан(л/2)\син(\алпҳа-\бета)},}

ва буни $α$ бурчак ва $б$ ва $д$ томонларини ўз ичига олган тўғри бурчакли учбурчак учун ААС формуласига киритамиз:

{\дисплайстйле \син д = \син б \син\алпҳа = \фраc{\тан б}{\сқрт{1+\тан^2 б}}\син\алпҳа.}

(Тезлик формуласи аслида $л$ даражасида шарсимон сферанинг $д$ нинг Тейлор кенгайишининг биринчи ҳадидир.)

Бу усул каботажда жуда кенг қўлланади. $α, β$ бурчаклари кемадан таниш белгиларни кузатиш орқали аниқланади.

Яна бир мисол сифатида, тогʻнинг ёки баланд бинонинг $ҳ$ баландлигини ўлчамоқчи бўлса, иккита ер нуқтасидан тепагача бўлган $α, β$ бурчаклари кўрсатилган бўлсин. Бу нуқталар орасидаги масофа $ℓ$ бўлсин. Худди шу АСА ҳолатлари формулаларидан биз қуйидаги натижаларни оламиз:

{\дисплайстйле ҳ = \фраc{\син\алпҳа\,\син\бета}{\син(\бета-\алпҳа)} \элл = \фраc{\тан\алпҳа\,\тан\бета}{\тан\бета-\тан\алпҳа} \элл.}

Ер шаридаги икки нуқта орасидаги масофа

Ер шаридаги икки нуқта орасидаги масофани ҳисоблаш учун,

А нуқта: кенглик $λ А$ , узунлик $Л А$ ва

Б нуқтаси: кенглик $λ Б$ , узунлик $Л Б$

$АБC$ сферик учбурчакни кўриб чиқамиз $АБC$ , бу ерда $C$ — Шимолий қутб. Баъзи хусусиятлар қуйидагилардир:

${\дисплайстйле а = 90^\матҳрм{о} - \ламбда_\матҳрм{Б}, \,}$

${\дисплайстйле б = 90^\матҳрм{о} - \ламбда_\матҳрм{А}, \,}$

${\дисплайстйле \гамма = Л_\матҳрм{А}-Л_\матҳрм{Б}. \,}$

Агар икки томон ва киритилган бурчак берилган бўлса, биз қуйидаги формулаларни оламиз:

{\дисплайстйле \матҳрм{АБ} = Р \арccос\лефт[\син \ламбда_\матҳрм{А} \,\син \ламбда_\матҳрм{Б} + \cос \ламбда_\матҳрм{А} \,\cос \ламбда_\матҳрм{Б} \,\cос \лефт(Л_\матҳрм{А}-Л_\матҳрм{Б}\ригҳт)\ригҳт].}

Бу ерда $Р$ — Ернинг радиуси .

Шунга ўхшаш

Мувофиқлик
Ҳансен муаммоси
Ментеşэ теоремаси
Лéнáрт шари
Снеллиус-Потҳенот муаммоси

Манбалар

↑ „Солвинг Трианглес“. Матҳс ис Фун. Қаралди: 2012-йил 4-апрел.
↑ „Солвинг Трианглес“. wеб.ҳораcеманн.орг. 2014-йил 7-январда асл нусхадан архивланган. Қаралди: 2012-йил 4-апрел.
↑ „Солвинг ССС Трианглес“. Матҳс ис Фун. Қаралди: 2015-йил 13-январ.
↑ „Солвинг САС Трианглес“. Матҳс ис Фун. Қаралди: 2015-йил 13-январ.
↑ „Солвинг ССА Трианглес“. Матҳс ис Фун. Қаралди: 2013-йил 9-март.
↑ „Солвинг АСА Трианглес“. Матҳс ис Фун. Қаралди: 2015-йил 13-январ.
↑ Алфред С. Посаментиэр анд Ингмар Леҳманн, Тҳе Сеcрец оф Трианглес, Прометҳеус Боокс, 2012: пп. 201-203.
↑ Напиэр’с Аналогиэс ат МатҳWорлд

Ташқи ҳаволалар

Эуcлид. Тҳе Тҳиртеэн Боокс оф тҳе Элеменц. Волуме И, Транслатед wитҳ интродуcтион анд cомментарй Сир Тҳомас Ҳеатҳ: , Довер [1925], 1956. ИСБН 0-486-60088-2.
Тригонометрик лаззатлар, Эли Маор томонидан, Принстон университети нашриёти, 1998 йил. Электрон китоб версияси, ПДФ форматида, тўлиқ матн тақдим этилган.
Алфред Монро Кенён ва Луи Инголд томонидан тригонометрия, Макмиллан компанияси, 1914 йил. Тасвирларда тўлиқ матн тақдим этилган. Гоогле китоб.
Математик оламида сферик тригонометрия .
Сферик тригга кириш. Напиэр доираси ва Напиэр қоидаларини муҳокама қилишни ўз ичига олади
Сферик тригонометрия — коллеж ва мактабларда фойдаланиш учун И. Тодҳунтер, МА, ФРС тарихий математика монографияси Cорнелл университети кутубхонаси томонидан чоп этилган.
Триангулатор – учбурчакни ҳал қилувчи. Ҳар қандай текис учбурчак масаласини минимал кириш маълумотлари билан ҳал қилинг. Ечилган учбурчакни чизиш.
ТриСпҳ – Сферик учбурчакларни эчиш учун бепул дастур, турли амалий иловалар учун созланиши ва гномониc учун созланган.
Сферик учбурчак калкулятори – Сферик учбурчакларни ҳал қилади.
ТрианCал – Исо С. томонидан учбурчакларни ҳал қилувчи.

[1] „Солвинг Трианглес“. Матҳс ис Фун. Қаралди: 2012-йил 4-апрел.

[2] „Солвинг Трианглес“. wеб.ҳораcеманн.орг. 2014-йил 7-январда асл нусхадан архивланган. Қаралди: 2012-йил 4-апрел.

[3] „Солвинг ССС Трианглес“. Матҳс ис Фун. Қаралди: 2015-йил 13-январ.

[4] „Солвинг САС Трианглес“. Матҳс ис Фун. Қаралди: 2015-йил 13-январ.

[5] „Солвинг ССА Трианглес“. Матҳс ис Фун. Қаралди: 2013-йил 9-март.

[6] „Солвинг АСА Трианглес“. Матҳс ис Фун. Қаралди: 2015-йил 13-январ.

[7] Алфред С. Посаментиэр анд Ингмар Леҳманн, Тҳе Сеcрец оф Трианглес, Прометҳеус Боокс, 2012: пп. 201-203.

[8] Напиэр’с Аналогиэс ат МатҳWорлд

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]