Delta - funksiya yoki Dirak delta funksiyasi
Delta-funksiyaning sxematik grafigi
Fanga kiritilish tarixi va matematik isboti
Birinchi marta 1926-yilda Dirak tomonidan kiritilgan δ {\displaystyle \delta}
δ ( x ) = 0 {\displaystyle \delta(x) = 0} x ≠ 0 ; ( 1 ) {\displaystyle x\ne 0;(1)}
δ ( x ) = ∞ {\displaystyle \delta(x) = \infty} x = 0 ; ( 2 ) {\displaystyle x = 0;(2)}
∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx = 1} − ∞ < x < + ∞ ; ( 3 ) {\displaystyle -\infty < x < +\infty;(3)}
Integrallash chegaralari − ∞ , + ∞ {\displaystyle -\infty, +\infty}
Har qanday uzluksiz f ( x ) {\displaystyle f(x)}
∫ − ∞ + ∞ f ( x ) δ ( x ) d x = f ( 0 ) {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x)dx = f(0)} − ∞ < x < + ∞ ; ( 4 ) {\displaystyle -\infty < x < +\infty;(4)}
Haqiqatdan, δ ( x ) {\displaystyle \delta(x)} x = 0 {\displaystyle x = 0} uzluksiz funksiyani o`zgarmas hisoblash mumkin. U vaqtda f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ( 0 ) {\displaystyle f(0)}
Delta-funksiya uchun muhim bo`lgan yana bir formulani qarab ko`raylik:
δ ( k x ) = 1 | k | δ ( x ) ; ( 5 ) {\displaystyle \delta(kx) = \frac{1}{|k|}\delta(x);(5)} k = c o n s t ≠ 0 {\displaystyle k = const \ne 0}
Haqiqatdan ham, agar k x {\displaystyle kx} ξ {\displaystyle \xi}
ξ = k x ; ( 6 ) {\displaystyle \xi = kx;(6)}
U vaqtda (1) va (2) formulalarga asosan,
δ ( ξ ) = 0 , {\displaystyle \delta(\xi) = 0,} ξ ≠ 0 ; ( 7 ) {\displaystyle \xi\ne 0;(7)} δ ( ξ ) = ∞ , {\displaystyle \delta(\xi) = \infty,} ξ = 0 ; ( 8 ) {\displaystyle \xi = 0;(8)}
(5) da ifodalangan tenglik belgisining ma'nosi shundan iboratki, uning o`ng va chap tomonlari integral ostidagi ko`paytuvchilar sifatida olinib, bir xil natija beradi.
Tenglamaning chap tomonini ko`rib chiqaylik. Agar k > 0 {\displaystyle k > 0}
∫ − ∞ + ∞ δ ( k x ) d x = 1 | k | ∫ − ∞ + ∞ | k | δ ( k x ) d x = 1 | k | ∫ − ∞ + ∞ k δ ( k x ) d x = 1 | k | ∫ − ∞ + ∞ δ ( k x ) d ( k x ) {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)dx = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|k|\delta(kx)dx = \frac{1}{|k|}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}k\delta(kx)dx = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)d(kx)}
∫ − ∞ + ∞ δ ( k x ) d ( k x ) = 1 | k | ∫ − ∞ + ∞ δ ( ξ ) d ξ {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)d(kx) = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi}
Endi (6)-(8) ifodalarni nazarda tutib, delta-funksiya ta'rifiga asosan yozishimiz mumkin
∫ − ∞ + ∞ δ ( ξ ) d ξ = 1 ; ( 9 ) {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi = 1;(9)}
demak,
∫ − ∞ + ∞ δ ( k x ) d x = 1 | k | {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)dx = \frac{1}{|k|}}
Agar k < 0 {\displaystyle k < 0}
∫ − ∞ + ∞ δ ( k x ) d x = 1 | k | ∫ − ∞ + ∞ | k | δ ( k x ) d x = − 1 | k | ∫ − ∞ + ∞ k δ ( k x ) d x = − 1 | k | ∫ − ∞ + ∞ δ ( k x ) d ( k x ) = − 1 | k | ∫ − ∞ + ∞ δ ( ξ ) d ξ = 1 | k | ∫ − ∞ + ∞ δ ( ξ ) d ξ = 1 | k | {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)dx =
\frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|k|\delta(kx)dx =
-\frac{1}{|k|}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}k\delta(kx)dx = -
\frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)d(kx)
= -\frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi = \frac{1}{|k|}}
(5) ning o`ng tomonidan olingan integral esa
∫ − ∞ + ∞ 1 | k | δ ( x ) d x = 1 | k | ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 1 | k | {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|k|}\delta(x)dx = \frac{1}{|k|}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx = \frac{1}{|k|}}
Shunday qilib, (5) ifoda isbotlandi. Xususiy hol k = − 1 {\displaystyle k = -1}
δ ( − x ) = δ ( x ) ; ( 10 ) {\displaystyle \delta(-x) = \delta(x);(10)}
Xossalari
Delta-funksiya - juft funksiya hisoblanadi.
x δ ′ ( x ) = − δ ( x ) {\displaystyle x\delta^\prime(x)=-\delta(x)} δ ( f ( x ) ) = ∑ k δ ( x − x k ) | f ′ ( x k ) | {\displaystyle \delta(f(x))=\sum_k\frac{\delta(x-x_k)}{|f'(x_k)|}} x k {\displaystyle x_{k}} f ( x ) {\displaystyle f(x)} Bir o`lchamli Delta-funksiyadan olingan integral Heaviside funksiyasi beradi: θ ( x ) = { 0 , x < 0 , 1 , x > 0 . {\displaystyle {\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x>0.\\\end{array}}\right.}}
Delta-funksiyaning filtrlash xossasi: ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) δ ( x − x 0 ) d x = f ( x 0 ) . {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).}
Integral tasavvurlar
Amaliyotda, ko`pincha, Delta-funksiyaning integral ko`rinishidan foydalanish qulay:
: δ ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e i ω t d ω {\displaystyle : \delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega}
Isbot
Quyidagi integralni ko`rib chiqaylik:
I ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i ω t d ω , {\displaystyle I(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\,d\omega,} Ushbu integralni quyidagi limit ko`rinishida ham yozishimiz mumkin:
I ( t ) = lim N → ∞ I N ( t ) , {\displaystyle I(t)=\lim_{N\to\infty}I_N(t),} bu yerda
I N ( t ) = 1 2 π ∫ − N N e i ω t d ω = 1 π N sin t N t N . {\displaystyle I_N(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-N}^N e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{\pi}N\frac{\sin{tN}}{tN}.} Ma'lumki,
∫ − ∞ ∞ sin t t d t = π . {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi.} Agar ixtiyoriy N {\displaystyle N}
∫ − ∞ ∞ I N ( t ) d t = 1 π ∫ − ∞ ∞ sin t N t N d ( t N ) = 1 . {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty}I_N(t)\,dt=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin{tN}}{tN}\,d(tN)=1.} Demak, N δ ( t ) {\displaystyle \delta(t)}
