Delta-funksiya

Делта - функсия ёки Дирак делта функсияси

Делта-функсиянинг схематик графиги

Фанга киритилиш тарихи ва математик исботи

Биринчи марта 1926-йилда Дирак томонидан киритилган ${\дисплайстйле \делта}$-функсия одатда қуйидагича та'рифланади:

1. ${\дисплайстйле \делта(х) = 0}$, агар ${\дисплайстйле х\не 0;(1)}$
2. ${\дисплайстйле \делта(х) = \инфтй}$, агар ${\дисплайстйле х = 0;(2)}$
3. ${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(х)дх = 1}$, агар ${\дисплайстйле -\инфтй < х < +\инфтй;(3)}$

Интеграллаш чегаралари ${\дисплайстйле -\инфтй, +\инфтй}$ бо`лиши шарт эмас. Делта-функсия чексиз бо`лган нуқтани о`з ичига олган ҳар қандай соҳа интеграллаш соҳаси бо`лиши мумкин. Делта-функсиянинг ма'носи ҳам шундаки, интеграл унинг аргументи бо`йича олинади.

Ҳар қандай узлуксиз ${\дисплайстйле ф(х)}$ функсия учун ёзиш мумкин:

${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}ф(х)\делта(х)дх = ф(0)}$, агар ${\дисплайстйле -\инфтй < х < +\инфтй;(4)}$

Ҳақиқатдан, ${\дисплайстйле \делта(х)}$ хусусиятига мувофиқ, юқоридаги интегралда фақат ${\дисплайстйле х = 0}$ нуқта атрофигина аҳамиятлидир. Чексиз кичик соҳада узлуксиз функсияни о`згармас ҳисоблаш мумкин. У вақтда ${\дисплайстйле ф(х)}$ функсиянинг ${\дисплайстйле ф(0)}$ қийматини интеграл белгисининг олдига чиқарилади. Қолган интеграл эса 3-формулага асосан бирга тенгдир.

Делта-функсия учун муҳим бо`лган яна бир формулани қараб ко`райлик:

${\дисплайстйле \делта(кх) = \фраc{1}{|к|}\делта(х);(5)}$, агар ${\дисплайстйле к = cонст \не 0}$

Ҳақиқатдан ҳам, агар ${\дисплайстйле кх}$ ни ${\дисплайстйле \хи}$ орқали белгиласак,

${\дисплайстйле \хи = кх;(6)}$

У вақтда (1) ва (2) формулаларга асосан,

${\дисплайстйле \делта(\хи) = 0,}$ агар${\дисплайстйле \хи\не 0;(7)}$ ${\дисплайстйле \делта(\хи) = \инфтй,}$ агар ${\дисплайстйле \хи = 0;(8)}$

(5) да ифодаланган тенглик белгисининг ма'носи шундан иборатки, унинг о`нг ва чап томонлари интеграл остидаги ко`пайтувчилар сифатида олиниб, бир хил натижа беради.

Тенгламанинг чап томонини ко`риб чиқайлик. Агар ${\дисплайстйле к > 0}$ бо`лса,

${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(кх)дх = \фраc{1}{|к|}\инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}|к|\делта(кх)дх = \фраc{1}{|к|} \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}к\делта(кх)дх = \фраc{1}{|к|}\инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(кх)д(кх)}$ бо`лади. Аммо (6) га мувофиқ,

${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(кх)д(кх) = \фраc{1}{|к|}\инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(\хи)д\хи}$

Энди (6)-(8) ифодаларни назарда тутиб, делта-функсия та'рифига асосан ёзишимиз мумкин

${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(\хи)д\хи = 1;(9)}$

демак,

${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(кх)дх = \фраc{1}{|к|}}$

Агар ${\дисплайстйле к < 0}$ бо`лса,

${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(кх)дх = \фраc{1}{|к|}\инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}|к|\делта(кх)дх = -\фраc{1}{|к|} \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}к\делта(кх)дх = - \фраc{1}{|к|}\инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(кх)д(кх) = -\фраc{1}{|к|}\инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(\хи)д\хи = \фраc{1}{|к|}\инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(\хи)д\хи = \фраc{1}{|к|}}$ бо`лади.

(5) нинг о`нг томонидан олинган интеграл эса

${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\фраc{1}{|к|}\делта(х)дх = \фраc{1}{|к|}\инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}\делта(х)дх = \фраc{1}{|к|}}$ бо`лади.

Шундай қилиб, (5) ифода исботланди. Хусусий ҳол ${\дисплайстйле к = -1}$ учун

${\дисплайстйле \делта(-х) = \делта(х);(10)}$

Хоссалари

• Делта-функсия - жуфт функсия ҳисобланади.
• ${\дисплайстйле х\делта^\приме(х)=-\делта(х)}$
• ${\дисплайстйле \делта(ф(х))=\сум_к\фраc{\делта(х-х_к)}{|ф'(х_к)|}}$, бу ерда ${\дисплайстйле х_{к}}$ - ${\дисплайстйле ф(х)}$ функсиянинг ноллари
• Бир о`лчамли Делта-функсиядан олинган интеграл Ҳеависиде функсияси беради:

${\дисплайстйле {\дисплайстйле \тҳета (х)=\лефт\{{\бегин{аррай}{*{35}{л}}0,&х<0,\\1,&х>0.\\\энд{аррай}}\ригҳт.}}$

• Делта-функсиянинг филтрлаш хоссаси:

${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}ф(х)\делта(х-х_0)\,дх=ф(х_0).}$

Интеграл тасаввурлар

Амалиётда, ко`пинча, Делта-функсиянинг интеграл ко`ринишидан фойдаланиш қулай:

${\дисплайстйле : \делта(т)=\фраc{1}{2\пи}\инт\лимиц_{-\инфтй}^{+\инфтй}э^{и\омега т}\,д\омега}$

Исбот  

Қуйидаги интегрални ко`риб чиқайлик:

${\дисплайстйле И(т)=\фраc{1}{2\пи}\инт\лимиц_{-\инфтй}^\инфтй э^{и\омега т}\,д\омега,}$    (1)

Ушбу интегрални қуйидаги лимит ко`ринишида ҳам ёзишимиз мумкин:

${\дисплайстйле И(т)=\лим_{Н\то\инфтй}И_Н(т),}$

бу ерда

${\дисплайстйле И_Н(т)=\фраc{1}{2\пи}\инт\лимиц_{-Н}^Н э^{и\омега т}\,д\омега=\фраc{1}{\пи}Н\фраc{\син{тН}}{тН}.}$    (2)

Ма'лумки,

${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^\инфтй\фраc{\син т}{т}\,дт=\пи.}$    (3)

Агар ихтиёрий ${\дисплайстйле Н}$ учун (3) дан фойдалансак, қуйидаги тенглик о`ринли:

${\дисплайстйле \инт\лимиц_{-\инфтй}^{\инфтй}И_Н(т)\,дт=\фраc{1}{\пи}\инт\лимиц_{-\инфтй}^\инфтй\фраc{\син{тН}}{тН}\,д(тН)=1.}$    (4)

Демак, Н нинг чексиз о`сувчи қийматларида (2) функсия учун Делта-функсиянинг барча хоссалари о`ринли ва у ${\дисплайстйле \делта(т)}$ га интилади.

Яна қаранг

• Греэн-функсияси
• Бессел-функсияси

Адабиётлар

• Маллин Р.Х., Классик электродинамика, О`қитувчи, - Т. 1974
• Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).