Ziyosfera

Riesz potential

Риэсз потенциали математикада унинг кашфиётчиси венгриялик математик Марсел Риэс номи билан аталган потенциалдир. Қайсидир маънода Риэсз потенциали Эвклид фазосида Лаплас операторининг кучига тескари кучни ифодалайди. Улар бир ўзгарувчили Риэманн-Лиоувилле интегралларини бир нечта ўзгарувчиларга умумлаштиради.

Агар 0 < а < н бо'лса, у ҳолда Р н даги локал интегралланувчи ф функсиянинг Риэсз потенсиали И а ф уйидаги функсияси билан аниқланади:

константа қуйидагича берилган:

cα=πн/22αΓ(α/2)Γ((н−α)/2).{\дисплайстйле c_\алпҳа = \пи^{н/2}2^\алпҳа\фраc{\Гамма(\алпҳа/2)}{\Гамма((н-\алпҳа)/2)}.}

Бу сингуляр интеграл яхши аниқланган, агар ф чексизликда етарлича тез камайди, айниқса ф ∈ Л <суп ид="мwЖw"><и ид="мwКА">п</и></суп> (<б ид="мwКҚ">Р</б> <суп ид="мwКг"><и ид="мwКw">н</и></суп>) 1 билан ≤ п < н / а. Аслида, ҳар қандай 1 ≤ п учун (п >1 классик, Соболевга кўра, п =1 бўлганда), ф ва И а ф нинг камайиш тезлиги тенгсизлик кўринишида боғланган (Ҳарди-Литтлевуд-Соболев тенгсизлиги)

‖Иαф‖п*≤Cп‖Рф‖п,п*=нпн−αп,{\дисплайстйле \|И_\алпҳа ф\|_{п^*} \ле C_п \|Рф\|_п, \қуад п^*=\фраc{нп}{н-\алпҳа п},}

бу ерда Рф=ДИ1ф{\дисплайстйле Рф=ДИ_1ф} вектор қийматли Риэсз конвертацияси. Умуман олганда, И а операторлари комплекс а учун аниқ белгиланган, 0 < Ре α < н.

Риэсз потенсиалини заиф маънода конволюция сифатида аниқлаш мумкин

Иαф=ф*Кα{\дисплайстйле И_\алпҳа ф = ф*К_\алпҳа}

Бу ерда К а - маҳаллий интегралланадиган функсия:

Кα(х)=1cα1|х|н−α.{\дисплайстйле К_\алпҳа(х) = \фраc{1}{c_\алпҳа}\фраc{1}{|х|^{н-\алпҳа}}.}

Риэсз потенсиалини ф ихчам қўллаб-қувватланадиган тақсимот бўлганда аниқлаш мумкин. Шу муносабат билан, мусбат Борел ўлчови μ нинг Риэсз потенциали асосан потенциал назарияга қизиқиш уйғотади, чунки И а μ у ҳолда μ таянчидан (узлуксиз) субҳармоник функсия бўлиб, барча Р н да пастки ярим узлуксиздир.

Фуре конвертациясини кўриб чиқиш Риэсз потенциалининг Фуре кўпайтмаси эканлигини кўрсатади.[1] Қуйидагини биламиз:

Иαф^(ξ)=|2πξ|−αф^(ξ).{\дисплайстйле \wидеҳат{И_\алпҳа ф}(\хи) = |2\пи\хи|^{-\алпҳа} \ҳат{ф}(\хи).}

ва конволюция теоремасига кўра

Иαф^(ξ)=|2πξ|−αф^(ξ).{\дисплайстйле \wидеҳат{И_\алпҳа ф}(\хи) = |2\пи\хи|^{-\алпҳа} \ҳат{ф}(\хи).}

Риэсз потенциаллари тез камайиб борувчи узлуксиз функсиялар учун қуйидаги яримгуруҳ хусусиятини қондиради:

ИαИβ=Иα+β{\дисплайстйле И_\алпҳа И_\бета = И_{\алпҳа+\бета}}

Берилган:

0<Ре⁡α,Ре⁡β<н,0<Ре⁡(α+β)<н.{\дисплайстйле 0 < \операторнаме{Ре} \алпҳа, \операторнаме{Ре} \бета < н,\қуад 0 < \операторнаме{Ре} (\алпҳа+\бета) < н.}

Бундан ташқари, агар 0 < Ре α < н–2 бўлса, у ҳолда:

ΔИα+2=Иα+2Δ=−Иα.{\дисплайстйле \Делта И_{\алпҳа+2} = И_{\алпҳа+2} \Делта=-И_\алпҳа.}

Бундан ташқари, ушбу синф функсиялари учун:

лимα→0+⁡(Иαф)(х)=ф(х).{\дисплайстйле \лим_{\алпҳа\то 0^+} (И_\алпҳа ф)(х) = ф(х).}

Шунингдек қаранг:

Эслатмалар

  1. ↑ Самко 1998, сеcтион ИИ.

Манбаълар

"https://new.ziyosfera.uz/ziyo/Riesz_potential" dan olindi